初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试学案

三角形证明（1）之等腰三角形和直角三角形

1. 知识点链接

等腰三角形--------------------------------直角三角形

        性质        判定                性质        判定

【等腰三角形】

例题1．求角度

(1). 等腰三角形的一个角是65°，则它的顶角的度数是　    　度．

(2). 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则底角的度数为（　　）

A．60°   B．120°    C．60°或120°    D．60°或30°

(3). 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，E是AC上一点，连接AD、DE，若∠ADE=∠AED，∠EDC=15°，则∠BAD=　  　．

巩固训练：

1．等腰三角形一边上的高等于一边的一半，则它的顶角度数为　        　．

2．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=40°，则∠CDE的度数为　   　．

          第2题图                        第3题图

3．（2017•鄞州）如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（　　）

A．23°       B．46°        C．67°         D．78°

4．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）

A．36°      B．60°      C．72°      D．108°

        第4题图                     第5题图

5．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=30°，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（　　）

A．15°       B．17.5°       C．20°       D．22.5°

6．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（　　）

A．20°、20°、140°               B．40°、40°、100°

C．70°、70°、40°                D．40°、40°、100°或70°、70°、40°

例题2．求长度或面积

（1）如图，△ABC中，AB=AC，点D为AB的中点，DE⊥AB于D，交AC于E，AD=7，△EBC的周长为24，则BC=　　．

（2）．如图所示，在Rt△ACB中，∠C=90°，AD平分∠BAC，若BC=16，BD=10，则点D到AB的距离是（　　）

A．9     B．8      C．7       D．6

巩固训练：1. 已知等腰三角形一腰的中线长为7.5，顶角平分线长为9，那么这个三角形的面积是（　　）

A．31.5      B．36      C．54       D．67.5

2．△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（　　）

A．等边三角形  B．等腰三角形  C．直角三角形 D．等腰直角三角形

例题4．动点问题

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（　　）

A．4个        B．5个        C．6个        D．7个

      第1题图                   第2题图            巩固练习第1题

2．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）

A．7个         B．6个     C．4个      D．3个

巩固练习：1．如图，∠MAN=16°，A1点在AM上，在AN上取一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止．那么作出的最后一点是（　　）

A．A5         B．A6         C．A7          D．A8

例题5．证明题型

1. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC．

（1）求证：AD⊥BC．

（2）若∠BAC=75°，求∠B的度数．

2．如图，已知BD平分∠ABC，AB=AD，DE⊥AB，垂足为E．

（1）求证：AD∥BC；

（2） ①若DE=6cm，求点D到BC的距离；

②当∠ABD=35°，∠DAC=2∠ABD时，求∠BAC的度数．

巩固练习：1．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．

（1）求∠BEC的度数．

（2）若CE=5，求BC的长．

2．如图，△ABC中，∠ABC=45°，P为BC边长一点，且PC=2PB，∠APC=60°．

（1）求∠BAP的大小；    （2）求∠ACB的大小．

3．如图，△ABC中，AC=BC，点D在BC上，作∠ADF=∠B，DF交外角∠ACE的平分线CF于点F．

（1）求证：CF∥AB；

（2）若∠CAD=20°，求∠CFD的度数．

★★★如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且∠ADE=∠AED，连接DE．

（1）如图①，若∠B=∠C=30°，∠BAD=70°，求∠CDE的度数；

（2）如图②，若∠ABC=∠ACB=70°，∠CDE=15°，求∠BAD的度数；

（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．

【直角三角形】

例题1．定义及性质判定

1. 对于条件：①两条直角边对应相等；②斜边和一锐角对应相等；③斜边和一直角边对应相等；④直角边和一锐角对应相等；以上能断定两直角三角形全等的有（　　）

A．1个        B．2个       C．3个       D．4个

巩固练习：

1．下列说法中，正确的个数是（　　）

①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；

②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等；

③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；

④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等．

A．1个        B．2个         C．3个        D．4个

例题2．求边长及判定应用

1．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=4cm，则AC的长为（　　）

A．7cm        B．10cm      C．12cm        D．22cm

       第1题图                      第2题图

2．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B=2∠A，则△BCD是（　　）

A．等腰三角形  B．等边三角形 C．直角三角形   D．任意三角形

巩固练习：

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BDC=30°，AD=2BC，则∠A=（　　）

A．15°       B．20°      C．16°     D．18°

               第1题图                         第2题图

2．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）

A．1        B．2       C．5          D．无法确定

例题3．证明题型

1. 已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠ACB=45°，CE是AB边上的中线．

（1）CD=AB；

（2）若CG=EG，求证：DG⊥CE．

2．如图，下午2时一艘轮船从A处向正北方向航行，5时达到B处，继续航行到达D处时发现，灯塔C恰好在正西方向，从A处、B处望灯塔C的角度分别是∠A=30°，∠DBC=60°，已知轮船的航行速度为24海里/时，求AD的长度．

巩固练习：

1．已知：如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高．

（1）求证：DH=EF；

（2）求证：∠DHF=∠DEF．

2. 如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC．

（1）求C点的坐标；

（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值．

★★★ 课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1，已知四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=60°，∠B与∠D互补，求证：AB+AD=AC．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．

（1）特殊情况入手添加条件：“∠B=∠D”，如图2，可证AB+AD=AC；（请你完成此证明）

（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）