北师大版八年级数学下册 第1章三角形的证明 章末复习 导学案（含答案）

三角形的证明 章末复习

一、知识结构：

请你绘出本章知识网络图：

二、知识回顾：

1.全等三角形判定、性质：  

判定：____________________________________________________. 

性质：________________________________________________.

考点对接

1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 （A、B、D三点共线， AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论． 

2. 已知：如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求证：AD＝AC．

2.等腰三角形的性质与判定

⑴等腰三角形的性质 

定理：等腰三角形有两边___________；(定义)  

定理：等腰三角形的两个底角___________（简写成“等边对等角”）。 

推论1：等腰三角形____________________________________________互相重合。（三线合一） 

推论2：等边三角形的各角都___________，并且每一个角都等于___________°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；  

⑵等腰三角形的判定 

⑴有关的定理及其推论

定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

⑶反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。这种证明方法称为反证法.

 考点对接

1.已知一个等腰三角形两边长之比为,周长为18,则这个等腰三角形底边长为(    )

A.2    B.  6   C.8   D.2或8

2. 关于等边三角形的说法:

(1)等边三角形有三条对称轴;

(2)有一个角等于的等腰三角形是等边三角形;

(3)有两个角等于的三角形是等边三角形;

(4)等边三角形两边中线上的交点到三边的距离相等.

其中正确的说法有(     )

A.1个   B. 2个  C.3个   D.4个

3.如图，在等边∆ABC中，AD=BE，BD、CE交于点P，CF⊥BD于F，若PF=3cm，则CP=____cm。

4.如图,在∆ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线, BE⊥AC于点E.求证: ∠CBE=∠BAD.

5.如图所示,在∆ABC中, ∠ABC=2∠C,AD为BC边上的高,延长AB到E点,使BE=BD,过点D,E引直线交AC于点F,则有AF=FC,为什么?

3.直角三角形

⑴直角三角形的性质

直角三角形的________________；

直角三角形两条直角边的平方和等于________________；

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于________________；

在直角三角形中，斜边上的中线等于________________。

⑵直角三角形判定

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；

⑶互逆命题、互逆定理

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.

考点对接

1.如图所示, ∠C=∠D=90°,添加一个条件,可使用“HL”判定RT∆ABC与RT∆ABD全等.
以下给出的条件适合的是(     )

A.AC=AD      B.AB=AB      C. ∠ABC=∠ABD      D. ∠BAC=∠BAD

2. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　    　）

A.∠C=∠A+∠B  B.a：b：c=3：4：5  C.∠C=∠A-∠B  D.∠A：∠B：∠C=3：4：5

3.如图,已知在∆ABC中,AB=AC, 分别过B、C向过A的直线作垂线,垂足分别为E、F，且AE=CF.

(1)如图①过A的直线与斜边BC不相交时,求证:AB⊥AC;

(2)如图②过A的直线与斜边BC相交时,其他条件不变,若BE=6,CF=3,求:BC长.

4.线段的垂直平分线、角平分线

⑴线段的垂直平分线

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离_________；

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到______________的距离相等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的______________上。 

⑵角平分线。 

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离________。 

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到______________的距离相等。（内心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在____________________上。

考点对接

1.如图，在RT ∆ABC中，∠C=90°，点D为AB边的中点，DE⊥AB，并与AC交于点E，如果∠A=15°，BC=1，那么AC等于（     ）

A.1    B.     C.     D.

2. 如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E．若BD=8，则CE=　      　．

3. 如图，已知在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线OB、OC相交于O．若∠BOC=140°,则∠A的度数为       .

4.如图, ∆ABC中, ∠BAC=110°,DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线,E、G分别为垂足.

(1)求∠DAF的度数;

(2)如果BC=10,求∆DAF的周长.

随堂检测

1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC 交AC 于点D ,AE∥BD 交CB 的延长线于点E.若∠E=35°,则∠BAC 的度数为(   )

A?40° B?45° C?60° D?70°

2.如图,在四边形ABCD 中,AB=CD,BA 和CD 的延长线交于点E,若点P 使得S△PAB =S△PCD ,则满足此条件的点P (   )

A.有且只有1个

B.有且只有2个

C.组成∠E 的角平分线

D.组成∠E 的角平分线所在的直线和E点处三角形BCE 外角平分线所在的直线(E点除外)

3.如图,△ABC 中,BD 平分∠ABC,BC 的中垂线交BC 于点E,交BD 于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF 的度数为(    )

A?48°   B?36°   C?30°    D?24°

4.如图,直线l上有三个正方形a､b､c,若a､c 的面积分别为5和11,则b 的面积为(    )

A?4     B?6      C?16       D?55

5.下列四个命题的逆命题是假命题的是(    )

A? 线段垂直平分线上的点到这条线段两端的距离相等

B? 角的平分线上的点到角的两边距离相等

C? 全等三角形的对应角相等

D? 若a²=b²,则|a|=|b|

6. 如图,在△ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,以A 为圆心,任意长为半径画弧分别交AB､AC 于点M 和N ,再分别以M ､N 为圆心,大于½ MN 的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP 并延长交BC 于点D ,则下列说法正确的个数是(    )

①AD 是∠BAC 的平分线 ②∠ADC=60° ③点D 在AB 的中垂线上 ④S△DAC ∶S△ABC =1∶3

A.?1个   B.?2个   C.?3个D.?4个

7. 如图,在△ABC 中,AB =AC,D､E 是△ABC 内两点,AD 平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°,若BE=6,DE=2,则BC 的长度是(   )

A?6 B?8 C?9 D?10

8. 如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AD 是△ABC 的角平分线,DC=3,则点D 到AB 的距离是     .

9. 如图,△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交边AB 于D 点,交边AC 于E 点,若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm､24cm,则AB=      cm.

10.如图,∠ABC=∠DCB,需要添加一个直接条件才能使△ABC≌△DCB.甲､乙､丙､丁四位同学添加的条件分别是:甲“AB=DC”;乙“AC=DB”;丙“∠A=∠D”;丁“∠ACB=∠DBC”.那么添加错误的同学是     .

11. 用反证法证明命题“在△ABC 中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C”的过程中,第一步应是假设       .

12.如图,∠BOC=9°,点A 在OB 上,且OA=1.按下列要求画图:

以A 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A₁,得第1条线段AA₁;

再以A₁ 为圆心,1为半径向右画弧交OB 于点A₂,得第2条线段A₁ A₂;

再以A₂ 为圆心,1为半径向右画弧交OC 于点A₃,得第3条线段A₂ A₃;

这样画下去,直到得第n 条线段,之后就不能再画出符合要求的线段了,则n=     .

13. (开放题)如图,∠OBC=∠OCB,∠AOB=∠AOC,请你写一个用全部已知条件才能推出的结论,并证明你的结论.

14.如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC,AD ⊥BE 于点D .求证:∠BAD=∠DAC+∠C.

15.如图1,在△ABC 中,AB=AC,D 是BC 的中点,点E 在AD 上.

(1)求证:BE=CE;

(2)如图2,若BE 的延长线交AC 于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其它条件不变.求证:△AEF≌△BCF.

16. (1)如图1,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A ,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D､E.证明:DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为:在△ABC 中,AB=AC,D､A､E三点都在直线m 上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α 为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD +CE 是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用:如图3,D､E 是D ､A､E 三点所在直线m 上的两动点(D､A､E 三点互不重合),点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形,连接BD､CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,试判断△DEF 的形状.

四、课堂小结

1.等腰三角形的性质与判定；

2.直角三角形的性质与判定；

3.含30°的直角三角形的性质；

4.与线段垂直平分线有关定理；

5.与角平分线有关定理；

6.互为逆命题、互为逆定理，反证法.

通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：

我的收获

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案

本章知识网络图：

1.全等三角形判定、性质：  

判定：(SSS) （SAS) (ASA) (AAS) （HL直角三角形）

性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.

考点对接

1. 证明：延长AE交CD于F， 

∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形        

∴AB＝BC，BD＝BE        

在△ABE和△CBD中

AB=BC，∠ABE=∠CBD，BE=BD

∴△ABE≌△CBD（SAS）

∴AE＝CD，∠1＝∠2 

又∵∠1＋∠3＝90°，∠3＝∠4（对顶角相等） 

∴∠2＋∠4＝90°，即∠AFC＝90°

∴AE⊥CD

2. 证明：∵AB⊥AE，AD⊥AC，

∴∠EAB+∠DAB=∠CAD+∠DAB，即∠DAE=∠CAB；

在△ACB和△ADE中，

∵∠DAE＝∠CAB，∠E＝∠B，DE＝CB，

∴△ACB≌△ADE（AAS），

∴AD=AC（全等三角形的对应边相等）．

2.等腰三角形的性质与判定

⑴等腰三角形的性质 

定理：等腰三角形有两边相等；(定义)  

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 

推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合。（三线合一） 

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

考点对接

1. A

2. D

3. 6

4. 证明: ∵AB=AC，∴∆ABC是等腰三角形，

又∵AD是边BC上的中线，

∴AD平分∠BAC，AD⊥BC（三线合一），

∴∠BAD=∠CAD.

在RT∆ADC中，

∠CAD+∠C=90°,

在RT∆BCE中，

∠CBE+∠C=90°,

∴∠CBE=∠CAD=∠BAD。

5. 解: ∵BE=BD，

∴∠E=∠BDE，

∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，

∴∠C=∠E=∠BDE，

而∠BDE=∠FDC，

∴∠FDC=∠C，

∴FD=FC

∵AD是高，∴∠ADF+∠FDC=90°，

而∠C+∠DAC=90°, ∠FDC=∠C,

∴∠ADF=∠DAC,

∴AF=FD，

∴AF=FC.

3.直角三角形

⑴直角三角形的性质

两锐角互余

斜边的平方

斜边的一半

斜边的一半

考点对接

1. A

2. D

3. (1)证明: ∵BE⊥EA,CF⊥AF,

∠BEA=∠CFE=90°

在RT∆BEA和RT∆AFC中，

AB=AC，AE=CF，

∴RT∆BEA≌RT∆AFC（HL），

∴EAB=∠ACF，

又∵∠ACF+∠CAF=90°

∴∠EAB+∠CAF=90°

∴∠BAC=180°-90°=90°，

∴AB⊥AC

（2）由（1）可证RT∆BEA≌RT∆AFC，

∴EA=FC=3，AF=BE=6，

∴RT ∆ABE中，AB=，BC==

4.线段的垂直平分线、角平分线

⑴线段的垂直平分线

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 

三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。（外心）

判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 

⑵角平分线。 

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 

三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。（内心）

判定：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

考点对接

1. C

2. 4

3. 70°

4. 解:(1)设∠B=x, ∠C=y.

∵∠BAC+∠B+∠C=180° ,

∴110°+∠B+∠C=180°, ∴x+y=70°

∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,

∴DA=BD,FA=FC,

∴∠EAD=∠B , ∠FAC=∠C.

∴∠DAF=∠BAC—（x+y）=110°-70°=40° .

 (2) ∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G,

∴DA=BD,FA=FC,

∴∆DAF 的周长为:

AD+DFAF=BD+DF+FC=BC=10，

因此，∆DAF 的周长为10.

随堂检测

1. A

2. D

3. A 

4. C

5. C

6. D

7. B

8. 3 .

9. 16.

10. 乙 .

11.∠B=∠C .

12. 9 .

13. 解:结论:AB=AC.

证明:∵∠OBC=∠OCB,

∴OB=OC.

又∵∠AOB=∠AOC,OA=OA,

∴△AOB≌△AOC.

∴AB=AC.

(答案不唯一,还可以证明AO⊥BC,AO 是∠BAC 的平分线等)

14.证明:延长AD 交BC 于点F.

∵BE 平分∠ABC,

∴∠ABD=∠FBD,

又∵AD⊥BE,

∴∠ADB=∠FDB=90°.

又BD=BD,

∴△ABD≌△FBD(ASA),

∴∠BAD=∠BFD.

在△AFC 中,∠BFD=∠DAC+∠C,

∴∠BAD=∠DAC+∠C.

15.证明:(1)∵AB=AC,D 是BC 的中

点,∴AD 垂直平分BC,

∴BE=CE;

(2)∵∠BAC=45°,

∠AFB=90°,

∴∠ABF=∠BAC=45°,

∴AF=BF,

又∵BF⊥AC,AD⊥BC,

∴∠DAC=∠FBC,∠AFE=∠BFC=90°,

∴△AEF≌△BCF(ASA)

16. 解:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m,

∴∠BDA=∠CEA=90°.

∵∠BAC=90°,

∴∠BAD+∠CAE=90°.

∵∠BAD+∠ABD=90°,

∴∠ABD=∠CAE.

又AB=AC,

∴△ADB≌△CEA,

∴BD=AE,AD=CE.

∴DE=AE+AD=BD+CE.

(2)成立.∵∠BDA=∠BAC=α,

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,

∴∠DBA=∠CAE.

∵∠BDA=∠AEC=α,AB=AC,

∴△ADB≌△CEA,

∴BD=AE,AD=CE,

∴DE=AE+AD=BD+CE.

(3)由(2)知,△ADB≌△CEA,BD=AE,∠DBA=∠CAE,

∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形,

∴BF=AF,∠ABF=∠CAF=60°,

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF,

∴∠DBF=∠FAE.

∴△DBF≌△EAF(SAS),

∴DF=EF,∠BFD=∠AFE,

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°,

∴△DEF 为等边三角形.