北师大版数学八年级下册单元检测卷 第一章 三角形的证明（测能力）
展开第一章 三角形的证明
（测能力）
【满分：120】
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，AD是等边的中线，，则的度数为( )
A.30° B.20° C.25° D.15°
2.如图，将绕点A逆时针旋转40°得到，AD与BC相交于点F，若且是以线段FC为底边的等腰三角形，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.满足下列条件的中，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，在等边中，点E是AC边的中点，点P是的中线AD上的动点，且，则的最小值是( )
A.12 B.9 C.6 D.3
5.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
6.如图，，OE平分，交OA于点D，，垂足为C.若，则OD的长为( )
A.2 B. C.4 D.
7.如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，若BC恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确的结论共有( )
A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.②③④
8.如图，的外角的平分线CP与内角的平分线BP交于点P，若，则( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
9.如图，点C为线段AB上一点，和是等边三角形.下列结论：
①；
②；
③是等边三角形；
④.其中正确的是( )
A.① B.①② C.①②③ D.①②③④
10.如图，在等边中，于D，延长BC到E，使，F是AC的中点，连接EF并延长EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：
①；
②；
③；
④；
⑤，
其中正确的个数是( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11.如图，等腰中，，，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则的度是______.
12.如图，在中，，，D为AB中点，E在线段AC上，，则_________.
13.如图，设P是等边内的一点，，，，则的度数是_____.
14.如图，点O是等边内一点，.将绕点C按顺时针方向旋转60°得，连接OD.当为______度时，是等腰三角形？
15.如图，在中，，，点E在线段AC上，且，点D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，___.
三、解答题（本大题共6小题，共计60分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
16.（8分）已知：为等边三角形，点D、E分别在BC和AC上，并且，连接AD、BE相交于点N，过点B作于点M.
(1)求证：
(2)若，，求AD的长
17.（8分）如图，在中，AD平分，于点D，过点D作交AB于点E.
求证：E为AB的中点.
18.（10分）如图，等边的边长为，点P，Q分别是边BC，CA上的动点，点P，Q分别从顶点B，C同时出发，且它们的速度都为，设运动时间为t秒.
(1)如图1，在P，Q运动的过程中，能否成为直角三角形？若不能，请说明理由；若能，请求出此时t的值.
(2)如图2，连接AP，交BQ于点M，在点P，Q运动的过程中，的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数.
19.（10分）如图，已知，AC平分，点B、D分别在AN、AM上.
（1）如图①，若，请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并给出证明；
（2）如图②，若，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
20.（12分）如图，中，BE平分，E在AC垂直平分线上，于F，于G.
（1）求证：；
（2）若，，求FC的长.
21.（12分）如图，已知等腰中，，BD平分交AC于点D.点M、N在斜边BC上，于点F，AM交BD于点E，且满足，过点C作CP垂直AN的延长线于点P.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，求AB的长；
(3)试探究AM与PC的数量关系，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：D
解析：AD是等边的中线，
，，
，
，
，
.
故选：D.
2.答案：B
解析：将绕点A逆时针旋转得到，且，
，，
又是以线段FC为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
故选：B.
3.答案：C
解析：解：A、若，则，由三角形内角和得，即：，则为直角三角形，不符合题意；
B、若，则，则为直角三角形，不符合题意；
C、若，则设，，，由于，则为不是直角三角形，符合题意；
D、若，则，则为直角三角形，不符合题意；
故选：C.
4.答案：C
解析：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
是等边三角形，AD是BC边上的中线，
，
AD是BC的垂直平分线，
点E关于AD的对应点为点F，
CF就是的最小值.
是等边三角形，E是AC边的中点，
F是AB的中点，
CF是的中线，
，
即的最小值为6，
故选：C.
5.答案：C
解析：连接AD，
是等腰三角形，点D是BC边的中点，
，
，解得，
EF是线段AC的垂直平分线，
点C关于直线EF的对称点为点A，
AD的长为的最小值，
的周长最短.
故选：C.
6.答案：C
解析：过点E作于点H，如图所示：
OE平分，，
，
，OE平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C.
7.答案：A
解析：，
，
BC平分，
，
，
，
AD是的角平分线，
，，故②③正确，
在与中，
，
，
，，故①正确；
，
，故④正确；
故答案为①②③④.
8.答案：C
解析：解：延长BA，作，，，
设，CP平分，，，平分，，，，，，，，在和中，，，.所以C选项是正确的.
9.答案：D
解析：(1)，是等边三角形，
，，，
，即
在和中，
，
，
，①正确；
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
为等腰三角形，
又，
为等边三角形，所以②③④正确，
故选：D.
10.答案：B
解析：是等边三角形，MN是BG的垂直平分线
M不是AB中点，N点不在的角平分上，
CN不平分，
，故①错误；
是等边三角形，
，，
，F是AC的中点，
，
，
，
，
，
，故⑤正确；
设，则，
，，
在中，，，
，
，故②正确；
如图，过N作于H，连接BN，
在等边中，
，
AD平分，，
，
，
MN是BG的垂直平分线，
，
，
在中，，
，故④错误；
在和中，
，
，
，
，
，
，故③正确.
故选：B.
11.答案：15°
解析：，，
，
MN垂直平分线AB，
，
，
.
故答案为：15°.
12.答案：或
解析：D为AB中点，
，即，
取AC中点，连接，则是的中位线，此时，，
，
在AC上取一点，使得，则，
，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
综上，的值为：或，
故答案为：或.
13.答案：150°
解析：为等边三角形，
，
可将绕点B逆时针旋转60°得，
连EP，如图，
，，，
为等边三角形，
，，
在中，，，，
，
为直角三角形，且，
故答案为150°.
14.答案：110°或125°或140°
解析：由旋转得，，，
是等边三角形，
，
①要使，需，
，，
，
；
②要使，需.
，
，
；
③要使，需.
，
，
，
解得.
综上所述：当的度数为125°或110°或140°时，是等腰三角形.
故答案为：110°或125°或140°.
15.答案：
解析：如图，过点F作于H，
将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
，，，
，
，
，
解得：，
，
，
.
故答案为：.
16.答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明：为等边三角形，
，，，，
(2)，
，
，
，
，
，
.
17.答案：证明见解析
解析：AD平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
E为AB的中点.
18.答案：(1)当或时，是直角三角形
(2)
解析：(1)由题意得：，
所以，
是等边三角形，
，
①若时，，
，
即，
解得：；
②若，
，
，
即，
解得：，
所以当或时，是直角三角形；
(2)不变，
理由是：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
.
19.答案：（1）.
证明：AC平分，，
，
又，
，
则.
.
（2）仍然成立.
证明：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F，
AC平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等），
，，
，
又，
，
，，
由（1）可知，
.
20.答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）如图，连接AE，CE，
点E在AC垂直平分线上，，
又平分，于F，于G，，，在和中，，，；
（2）由（1）中，，在和中，，，
，
，，
，
又由（1）中知，
，
，FC的长为3
21.答案：(1)见解析
(2)
(3)见解析
解析：(1)证明：如图1，
，，
，
BD平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形；
(2)如图2，
作于H，
BD平分，，
，
，
，
，
；
(3)如图3，
，理由如下：
由(1)知：，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
，
；
