初中数学北师大版八年级下册第四章 因式分解1 因式分解精品同步练习题

第四章 因式分解单元综合（解析版）

一、单选题

1．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

【标准答案】C

【思路指引】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．

【详解详析】

A、不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；

B、原变形是整式乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；

D、左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；

故选：C．

【名师指路】

本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．

2．已知a﹑b﹑c为△ABC的三条边边长，且满足等式a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，则△ABC的形状为（       ）

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形

【标准答案】B

【思路指引】

首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据三角形的三边关系得到，从而得到答案．

【详解详析】

解：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0

∴

∴；

∴

∴为等边三角形．

故选B．

【名师指路】

本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．

3．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（　　）

A．（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6 B．6xy＝2x•3y

C．x2+2x+1＝x（x+2）+1 D．x2﹣9＝（x﹣3）（x+3）

【标准答案】D

【思路指引】

根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．

【详解详析】

解：A、是整式的乘法，故此选项不符合题意；

B、不属于因式分解，故此选项不符合题意；

C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意；

D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意；

故选：D．

【名师指路】

本题考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．

4．把多项式分解因式，其结果是（     ）

A． B．

C． D．

【标准答案】B

【思路指引】

因为−6×9＝−54，−6＋9＝3，所以利用十字相乘法分解因式即可．

【详解详析】

解：x2+3x−54＝（x−6）（x＋9）；

故选：B．

【名师指路】

本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

5．在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，，且满足．若的面积为，则的值不可能为（       ）

A．18 B．46 C．82 D．55

【标准答案】D

【思路指引】

先根据两点之间的距离公式和可得一个关于的等式，再根据三角形的面积公式可得，然后分和两种情况，利用完全平方公式进行变形运算即可得．

【详解详析】

解：由题意得：，

，

，

，即，

，

，的面积为，

，即，

（1）当时，则，

由得：或，

①当时，则，

此时；

②当时，

此时；

（2）当时，则，，

所以由得：，

此时；

综上，的所有可能的值为18，46，82，

故选：D．

【名师指路】

本题考查了两点之间的距离公式、因式分解、完全平方公式等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．

6．把多项式因式分解得，则常数，的值分别为（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【标准答案】A

【思路指引】

根据因式分解是恒等式，展开比较系数即可．

【详解详析】

∵=，

∴=，

∴n-2=5，m=-2n，

∴n=7，m=-14，

故选A．

【名师指路】

本题考查了因式分解，正确理解因式分解的恒等性是解题的关键．

7．已知，，求代数式的值为（       ）

A．18 B．28 C．50 D．60

【标准答案】A

【思路指引】

先利用提公因式法和完全平方公式对所求代数式因式分解，再整体代入求值即可．

【详解详析】

解：

=

=，

当，时，

原式=2×32=2×9=18，

故选：A．

【名师指路】

本题考查代数式求值、因式分解、完全平方公式，熟记公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．

8．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（       ）

A． B．

C． D．

【标准答案】A

【思路指引】

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．根据定义即可进行判断．

【详解详析】

解：A．把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形是因式分解，故此选项符合题意；

B．等式的左边不是多项式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；

C．不是把一个多项式化为几个整式的积的形式，原变形不是因式分解，故此选项不符合题意；

D．原变形是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；

故选：A

【名师指路】

本题主要考查了因式分解的定义．解题的关键是掌握因式分解的定义，要注意因式分解是整式的变形，并且因式分解与整式的乘法互为逆运算．

9．已知实数x，y满足：x2−+2=0，y2−+2=0，则2022|x−y|的值为（       ）【出处：】

A． B．1 C．2022 D．

【标准答案】B

【思路指引】

利用偶次方的非负性得到x>0，y>0，两式相减，可求得x-y=0，据此即可求解．

【详解详析】

解：∵x2−+2=0①，y2−+2=0②，

∴x2+2=，y2+2=，

∵x2+20，y2+20，

∴x>0，y>0，

①-②得：x2−-y2+=0，

整理得：(x-y)(x+y+)=0，

∵x>0，y>0，

∴x+y+>0，

∴x-y=0，

∴2022|x−y|=20220=1，

故选：B．

【名师指路】

本题考查了因式分解的应用，非负性的应用，由偶次方的非负性得到x>0，y>0是解题的关键．

二、填空题

10．已知x2－3x－1＝0，则2x3－3x2－11x＋1＝________．

【标准答案】4

【思路指引】

根据x2－3x－1＝0可得x2－3x＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．

【详解详析】

解：∵x2－3x－1＝0，

∴x2－3x＝1，

∴

=

=

将x2－3x＝1代入

原式=

=

将x2－3x＝1代入

原式=，

故答案为：4．

【名师指路】

本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．

11．边长为m、n的长方形的周长为14，面积为10，则的值为_________．

【标准答案】290

【思路指引】

根据题意可知m＋n＝7，mn＝10，再由因式分解法将多项式进行分解后，可求出答案．

【详解详析】

解：由题意可知：m＋n＝7，mn＝10，

原式＝mn（m2＋n2）

＝mn[(m+n)2-2mn]

=10×(72-2×10)

=10×29

＝290

故答案为：290．

【名师指路】

本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用因式分解法以及完全平方公式的变形公式．

12．分解因式：______．

【标准答案】

【思路指引】

先提出公因式a，再运用完全平方公式进行分解即可．

【详解详析】

解：．

故答案为：．

【名师指路】

本题考查了分解因式，掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．

13．因式分解：ax2﹣4ay2＝____．

【标准答案】a（x+2y）（x﹣2y）

【思路指引】

先提公因式a，再利用平方差公式即可进行因式分解．

【详解详析】

解：原式＝a（x2﹣4y2）＝a（x+2y）（x﹣2y），

故答案为：a（x+2y）（x﹣2y）．

【名师指路】

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

14．把多项式因式分解的结果是_______．

【标准答案】

【思路指引】

先提取公因式，在利用公式法计算即可；

【详解详析】

原式；

故答案是：．

【名师指路】

本题主要考查了利用提取公因式法和公式法进行因式分解，准确利用公式求解是解题的关键．

15．分解因式______．

【标准答案】2a2（a+3）（a−3）

【思路指引】

先提公因式2a2，再利用平方差公式进行因式分解即可．

【详解详析】

解：原式＝2a2（a2−9）＝2a2（a+3）（a−3），

故答案为：2a2（a+3）（a−3）．

【名师指路】

本题考查提公因式法，公式法分解因式，掌握提公因式法和平方差公式是正确解答的关键．

16．把多项式－27分解因式的结果是________．

【标准答案】3（m＋3）（m－3）

【思路指引】

先提取公因数3，后利用平方差公式分解即可．

【详解详析】

∵－27

=3（）

=3（）

=3（m＋3）（m－3），

故答案为：3（m＋3）（m－3）．

【名师指路】

本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，后用公式法分解的基本思路是解题的关键．

17．在实数范围内分解因式：________．

【标准答案】

【思路指引】

先提公因式，再逆用平方差公式进行因式分解．

【详解详析】

解：．

故答案为：．

【名师指路】

本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法、公式法进行因式分解是解决本题的关键．

18．如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 _____．

【标准答案】2＜CD＜7

【思路指引】

已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．

【详解详析】

解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，

即（a−5）2＋（b−9）2＝0，

∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，

∴a−5＝0，b−9＝0，

解得：a＝5，b＝9，

∴BC＝5，AC＝9，

延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，

∵CD为AB边上的中线，

∴BD＝AD，

在△BCD和△AED中，

，

∴△BCD≌△AED（SAS），

∴AE＝BC＝a，

在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，

∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，

∴＜CD＜，

则2＜CD＜7．

故答案为：2＜CD＜7．

【名师指路】

此题考查了配方法的应用，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

19．对于二次三项式（m、n为常数），下列结论：

①若，且，则；

②若，则无论x为何值时，都是正数；

③若，则：

④若，且，其中a、b为整数，则m可能取值有10个．

其中正确的有______．（请填写序号）

【标准答案】②③④

【思路指引】

根据完全平方公式可以得a2=36，从而得出，于是易判断结论①；根据得出，通过配方将多项式变形为判断②说法正确；利用多项式乘多项式化简对比系数可判断③；利用因式分解的方法对各种类型进行分析即可判断④．

【详解详析】

解：①若n=36，且x2+mx+n= ，则有x2+mx+36=x2+2ax+a2，

a2=36，

解得：a=，

故①说法错误；

②m2<4n，

，

故无论x为何值时，都是正数，

故②说法正确；

③x2+mx+n= ，

x2+mx+n=x2+(a+3)x+3a，

m=a+3，n=3a，

3m-n=3(a+3)-3a=3a+9-3a=9

故③说法正确；

④n=36，且x2+mx+n= ，

x2+mx+36= ，

，n=36，

a、b为整数，

相应的数对为：-1和-36，1和36，-2和-18，2和18，-3和-12，3和12，-4和-9，4和9，-6和-6，6和6共10对，因此m的值可能有10个，版权所有

故④说法正确．

综上所述，正确的说法有：②③④．

故答案为：②③④．

【名师指路】

本题主要考查多项式乘多项式，难点在于判断多项式值的情况时，往往需要将多项式进行变形，将其变成一个或几个式子平方与某一代数式的和形式，配方是配二次三项式中一次项系数一半的平方．

三、解答题

20．化简：

(1)化简：x3y﹣4x2y+4xy；

(2)化简：（x﹣3y）2+3y（2x﹣3y）．

【标准答案】(1)；

(2)

【思路指引】

（1）先提取公因式xy，再根据完全平方公式分解因式即可；

（2）根据完全平方公式及去括号法则化简，再合并同类项即可．

(1)

解：x3y﹣4x2y+4xy

=

=；

(2)

解：（x﹣3y）2+3y（2x﹣3y）

=

=．

【名师指路】

此题考查了计算能力，利用提公因式法和公式法分解因式，整式的混合运算，正确掌握因式分解的方法及整式混合运算的法则是解题的关键．

21．【知识背景】

八年级上册第121页“阅读与思考”中，我们利于因式分解是与整式乘法方向相反的变形这种关系得到：．

【方法探究】

对于多项式我们也可这样分析：它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项pq分解成p与q的积，按图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数．

所以

例如，分解因式：

它的二次项系数1分解成1与1的积；它的常数项6分解成2与3的积，按图2所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数5．原创作品

 所以）．

类比探究：当二次项系数不是1时，我们也可仿照上述方式进行因式分解．

例如，分解因式：．

分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项－6分解成－1与6（或－6与1，－2与3，－3与2）的积，但只有当－2与3时按如图3所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数－1．所以．

【方法归纳】

一般地，在分解形如关于x的二次三项式时，二次项系数a分解成与的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c分解成与的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把，，，按如图4所示方式排列，当且仅当（一次项系数）时，可分解因式．即．

我们把这种分解因式的方法叫做十字相乘法．

【方法应用】

利用上面的方法将下列各式分解因式：

(1)；

(2)；

(3)

【标准答案】(1)（x－2）（x－3）

(2)（2x＋3）（5x－7）

(3)（x－1）（x－3）

【思路指引】

（1）二项系数分解成1与1的积，它的常数项6分解成-2与-3的积，可用十字相乘法．

（2）二项系数分解成2与5的积，它的常数项-21分解成3与-7的积，可用十字相乘法．

（3）把看成整体，二项系数分解成1与1的积，它的常数项12分解成3与4的积，用十字相乘法，继续分解，直到完全分解为止．

(1)

=（x－2）（x－3）．

(2)

=（2x＋3）（5x－7）．

(3)

=

=（x－1）（x－3）．

【名师指路】

本题考查了新知识十字相乘法，正确理解方法，并能正确进行分解组合是解题的关键．

22．分解因式：

(1)

(2)

【标准答案】(1)

(2)

【思路指引】

（1）先提取公因式，再用平方差公式分解因式；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式．

(1)

(2)

【名师指路】

本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解因式，分解因式要彻底是解题关键．

23．因式分解：

(1)；

(2)．

【标准答案】(1)

(2)

【思路指引】

（1）根据平方差公式进行解答，将（m+n）和 看做整体；

（2）根据平方差公式进行解答，将（x2+y2）和看做整体．

(1)

解：

=

=

=

(2)

解：

=

=

=

【名师指路】

本题考查了因式分解——公式法，熟悉公式的结构是解题的关键．

24．（1）分解因式：；                           

（2）

【标准答案】（1）

（2）

【思路指引】

（1）先提公因式x，然后用平方差公式分解因式；

（2）先提起公因式﹣2a，然后用十字相乘法因式分解．

【详解详析】

解：（1）原式；

（2）原式=－2a(a2－6a＋5)

=

【名师指路】

本题考查了多项式的因式分解，解题的关键是掌握因式分解的方法如提公因式法、公式法、十字相乘法．

25．阅读与思考

任务：

(1)请根据以上阅读材料补充完整对因式分解的过程．

(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求的值．

【标准答案】(1)

(2)

【思路指引】

（1）在题干的基础上再提取公因式，整理即可；

（2）由（1）可知求出的值即可求出的值．将变形为，再代入和的值即得出的值，由此即得出结果．

(1)

．

；

(2)

∵

∴．

【名师指路】

本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．