北师大版八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试课时作业

《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）

【巩固练习】

一、 选择题

1.△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC=75°，则∠A的度数是（　　）

　 A． 35° B． 40° C． 70° D． 110°

2．三角形的三个内角中，锐角的个数不少于（　　）

　 A． 1 个 B． 2 个 C． 3个 D． 不确定

3．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，其中一定可以拼成的图形的是（　　）

　 A． ①②③ B． ②③④ C． ①③④ D． ①②④

4．如图，D在AB上，E在AC上，且∠B=∠C，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　）

　 A． AD=AE B． ∠AEB=∠ADC C． BE=CD D． AB=AC

5．（2020•青岛）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（　　）

A．     B．2      C．3      D．+2

6．（2020•湘西州）一个等腰三角形一边长为4cm，另一边长为5cm，那么这个等腰三角形的周长是（　　）

A．13cm     B．14cm     C．13cm或14cm    D．以上都不对

7．有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形（　　）

　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对

8．面积相等的两个三角形（　　）

　 A． 必定全等 B． 必定不全等 C． 不一定全等 D． 以上答案都不对

二、 填空题

9.如果等腰三角形的一个底角是80°，那么顶角是　_________　度．

10.△ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A+∠B还大12°，那么∠B=　_________　度．

11．（2020秋•洛阳校级月考）如果a，b，c为三角形的三边，且（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，则这个三角形是　           　．

12．如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：　_________　，使△AEH≌△CEB．

13．等腰直角三角形一条边长是1 cm，那么它斜边上的高是　_________　．

14．在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB=AD；②∠BAC=∠DAC；③BC=DC，把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：　_________　．

15．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是　_________　．

16．已知△ABC中，∠A=90°，角平分线BE、CF交于点O，则∠BOC=　_________　．

三、 解答题

17.（2020秋•定州市期中）如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：

（1）AM⊥DM；

（2）M为BC的中点．

18.（2020秋•太和县期中）如图：△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，过F点作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：

（1）BD=DF．

（2）△ADE的周长等于AB+AC．

19. 如图，D，E是△ABC边上的两点，且BD=DE=EC=AD=AE，求∠BAC的度数．

20.（2020春•建昌县期末）已知：如图，有一块Rt△ABC的绿地，量得两直角边AC=8m，BC=6m．现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8m为直角边长的直角三角形，求扩充后等腰△ABD的周长．

（1）在图1中，当AB=AD=10m时，△ABD的周长为　        　；

（2）在图2中，当BA=BD=10m时，△ABD的周长为　              　；

（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B；

  【解析】解：设∠A的度数是x，则∠C=∠B=，

∵BD平分∠ABC交AC边于点D

∴∠DBC=，

∴++75=180°，

∴x=40°.

∴∠A的度数是40°.

故选B．

2．【答案】B；

【解析】解：由三角形内角和为180度可知：三角形的三个内角中，锐角的个数不少于2个．故选B．

3.【答案】D；

【解析】解：两个全等的直角三角形，一定可以拼成平行四边形（直角边重合，两直角不邻），等腰三角形（直角边重合，两直角相邻），以及矩形（斜边重合）；

若为等腰直角三角形，则可拼成正方形；所以①②④一定可以拼接而成，③不一定拼成．

4.【答案】B；

【解析】解：A、根据AAS（∠A=∠A，∠C=∠B，AD=AE）能推出△ABE≌△ACD

正确，故本选项错误；

B、三角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项正确；

C、根据AAS（∠A=∠A，∠B=∠C，BE=CD）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；

D、根据ASA（∠A=∠A，AB=AC，∠B=∠C）能推出△ABE≌△ACD，正确，故本选项错误；

5.【答案】C；

  【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE=1，

又∵直角△BDE中，∠B=30°，

∴BD=2DE=2，

∴BC=CD+BD=1+2=3．

故选C．

6.【答案】C；

  【解析】解：当4cm为等腰三角形的腰时，

三角形的三边分别是4cm，4cm，5cm符合三角形的三边关系，

∴周长为13cm；

当5cm为等腰三角形的腰时，

三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，

∴周长为14cm，

故选C.

7.【答案】A；

  【解析】解：有两个角和其中一个角的对边对应相等，

符合“角角边”判定方法，

所以，两个三角形必定全等．

8.【答案】C；

  【解析】解：因为两个面积相等的三角形，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．

二、填空题

9．【答案】 20；

  【解析】解：∵三角形是等腰三角形，

∴两个底角相等，

∵等腰三角形的一个底角是80°，

∴另一个底角也是80°，

∴顶角的度数为180°﹣80°﹣80°=20°．

10．【答案】28；

   【解析】解：设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x+12°，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴x+2x+3x+12°=180°，解得x=28°．

故答案为：28．

11.【答案】等边三角形；

【解析】解：∵（a﹣b）2+（a﹣c）2+|b﹣c|=0，

∴a﹣b=0，a﹣c=0，b﹣c=0，

∴a=b，a=c，b=c，

∴a=b=c，

∴这个三角形是等边三角形；

故答案为：等边三角形．

12.【答案】AH=CB或EH=BE或AE=CE；

【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，

∴∠BEC=∠AEC=90°，

在Rt△AEH中，∠EAH=90°﹣∠AHE，

又∵∠EAH=∠BAD，

∴∠BAD=90°﹣∠AHE，

在Rt△AEH和Rt△CDH中，∠CHD=∠AHE，

∴∠EAH=∠DCH，

∴∠EAH=90°﹣∠CHD=∠BCE，

所以根据AAS添加AH=CB或EH=BE；

根据ASA添加AE=CE．

可证△AEH≌△CEB．

13.【答案】cm或cm；

   【解析】解：（1）当1cm是斜边，则其高就是斜边1的一半是cm；

（2）当其直角边是1cm时，根据勾股定理得其斜边是cm，再根据其高是斜边的一半得高是cm；所以它斜边上的高是cm或cm．

14.【答案】在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．

   【解析】解：把①②作为条件③作为结论，

∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，

又∵AC=AC，

∴△ABC≌△ADC，

∴BC=BD．

故答案为：在△ABC和△ADC中，如果AB=AD，∠BAC=∠DAC，那么BC=DC．

15.【答案】PA=PB=PC;

  【解析】∵边AB的垂直平分线相交于P，

∴PA=PB，

∵边BC的垂直平分线相交于P，

∴PB=PC，

∴PA=PB=PC．

16.【答案】135°;

  【解析】解：∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，

∵角平分线BE、CF交于点O，

∴∠OBC+∠OCB=45°，

∴∠BOC=180°﹣45°=135°．

故答案为135°．

三、解答题

17.【解析】

解：（1）∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴2∠MAD+2∠ADM=180°，

∴∠MAD+∠ADM=90°，

∴∠AMD=90°，

即AM⊥DM；

（2）作NM⊥AD交AD于N，

∵∠B=90°，AB∥CD，

∴BM⊥AB，CM⊥CD，

∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，

∴BM=MN，MN=CM，

∴BM=CM，

即M为BC的中点．

18.【解析】

证明：（1）∵∠ABC和∠ACB的平分线交于F点，

∴∠ABF=∠FBC，∠ACF=∠FCB．

∵DE∥BC，

∴∠FBC=∠BFD，∠FCB=∠EFC，

∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，

∴DB=DF；

（2）由（1）证得DB=DF，同理EC=EF．

∵DE=DF+EF，

∴DE=BD+CE，

∵△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC．

19.【解析】

解：因为AD=DE=AE，所以∠ADE=∠DEA=∠DAE=60°，

所以∠ADB=120°，∠AEC=120°．

因为BD=AD，AE=EC，

所以∠B=∠BAD=（180°﹣∠ADB）=（180°﹣120°）=30°，

∠C=∠CAE=（180°﹣∠AEC）=（180°﹣120°）=30°．

所以∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=30°+60°+30°=120°．

20．【解析】解：（1）如图1，∵AB=AD=10m，AC⊥BD，AC=8m，

∴DC==6（m），

则△ABD的周长为：10+10+6+6=32（m）．

故答案为：32m；

（2）如图2，当BA=BD=10m时，

则DC=BD﹣BC=10﹣6=4（m），

故AD==4（m），

则△ABD的周长为：AD+AB+BD=10+4+10=（20+4）m；

故答案为：（20+4）m；

（3）如图3，∵DA=DB，

∴设DC=xm，则AD=（6+x）m，

∴DC2+AC2=AD2，

即x2+82=（6+x）2，

解得；x=，

∵AC=8m，BC=6m，

∴AB=10m，

故△ABD的周长为：AD+BD+AB=2（+6）+10=（m）．