数学八年级下册第一章 三角形的证明综合与测试导学案

北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明复习课导学案

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一．本章重要知识回顾：

1．等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形是      图形．

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“     ”），它们所在的直线都是等腰三角形的      ，等腰三角形有      条对称轴．

（3）等腰三角形的两个底角       ，简称      ；

（4）等腰三角形的        相等；            相等；               相等；

（5）等腰三角形底边的中点到两腰的距离     

（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于        。

2.等腰三角形的判定：

（1）        的三角形叫做等腰三角形

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也      ，简称        ．

3.等边三角形的性质：

（1）等边三角形三边都相等，三个内角都是       ，等边三角形是       图形，等边三角形有    条对称轴．

（2）等边三角形内任意一点到三边距离之和等于        。

4.等边三角形的判定：

（1）三边都       的三角形是等边三角形；

（2）三角都       的三角形是等边三角形；

（3）有一个角等于      的       三角形是等边三角形.                      

5.直角三角形的性质：

（1）直角三角形的两锐角       ；             

（2）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；                          

（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于          ；                                                                   

（4）如果直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角         .                                       

6.直角三角形的判定：      

（1）有一个是直角的三角形是直角三角形；                                                                   

（2）如果一个三角形的两条边的平分和等于第三条的平方，这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。                                               

7.直角三角形全等的判定方法：ASA,AAS,SSS,SAS,HL

8.线段的垂直平分线和角平分线的性质和判定：

（1）线段垂直平分线上的点到这条线段两个          的距离相等。

（2）到一条线段两个      距离      的点，在这条线段的垂直平分线上。

(3)三角形三条边的垂直平分线相交于  点，并且这点到      的距离相等。

（4）角平分线上的点到                的距离相等。

（5)在一个角的内部，到角     距离相等的点，在这个角的      上。 

（6）三角形三个角的平分线相交于   点，并且这点到   的距离相等。

二．典型例题：

例1：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E,请判断△BDE的形状，并说明理由.

例2. 如图，在△ABC中，已知∠C=2∠B，∠1=∠2，试说明：AB=AC+CD

三．练习

1.已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是(    )

  A.8   B.9   C.10或12   D.11或13 

2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则这个等腰三角形的顶角的度数是(    ) 

A.70°   B.110°   C.70°或110°   D.20°或160° 

3.等腰三角形的一个外角等于130°，则它的一个底角等于       .

4．等腰三角形的一个内角等于80°，则它的一个顶角等于         

5.如图，∠AOB是一角度为15°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH…，且OE=EF=FG=GH…，在OA、OB足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为      ．

6.已知：如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD+CE=9，则线段DE的长为(    )

A.8   B.9   C.6   D.7

（6）         （7）                （8）

7．如图，△ABC的面积为1cm2，AP垂直∠B的平分线BP于P，则△PBC的面积为（   ）

A．0．4 cm2      B．0．5 cm2        C．0．6 cm2       D．0．7 cm2

8．在等腰三角形ABC中，＝，为边上的任意一点，过点分别作，，垂足分别为，，过B作BGAC于G,已知BG=5，则＝ (　　　　　）

A．6       B．4.8     C．5      D．2.4

9.如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC＝90º，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：①图中只有2对全等三角形，②AE=CF；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF=S△ABC；⑤EF的最小值为 ．上述结论始终正确的有（    ）

A．2        B．3     C．4        D．5

10.如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP； ⑤∠AOB=60°．

其中正确的结论的个数是（    ）

A．2个   B．3个 C．4个   D．5个

11.已知，如图，O是△ABC的∠ABC.∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC = 10，则△ODE的周长为        .

(11题)  （12题） （13题）

12.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是      .

13. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为       .

14. △ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若DC=7，则D到AB的距离是      .

15.若等腰三角形腰长为，腰上的高为，则此等腰三角形的底角为       度．

16.如图，在△ABC中，AB=AC，D是三角形外一点，且∠ABD=60°，BD+DC=AB．

求证：∠ACD=60°．

17.已知如图，AD是△ABC的高，E是AD上一点，BE的延长线交AC于点F,BE=AC,DE=DC,BE和AC垂直吗？请说明理由。

答案：

二．典型例题：

例1： 解：△BDE为等腰三角形

理由：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，

∵DE//BC, ∴∠EDB=∠DBC

∴∠ABD=∠DBC，

∴ED=EB

∴△BDE为等腰三角形

总结：已知“角平分线、  平行线 、 等腰三角形” 中的任意两个条件，可以推出第三个.

例2. 方法一：证明2倍角问题：构造等腰三角形，利用外角把小角转化为大角

证明：在AB上取AE=AC，连接DE，
∵AE=AC，∠1=∠2，且AD=AD，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴ED=CD，∠AED=∠C=2∠B，
又∵∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，
∴EB=ED，即△BED为等腰三角形．
∴BE=ED=CD，
∴AB=AE+EB=AC+CD．

方法二：证明两短线段之和等于长线段：截长法或补短法

证明：延长AC到E，使CE=CD，连接DE．
则∠CDE=∠E
∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E
∵∠ACB=2∠B
∴∠B=∠E
∵∠1=∠2，AD=AD
∴△ABD≌△AED
∴AB=AE=AC+CD．

三．练习

1.D   2.C    3. 50°或65°   4．20°或50°   5. 5   6.B

7．B  8．C
  9.C     10.D    11. 10     12. 10°   13. 2

14. 7    15.或

解：若该三角形为钝角三角形，如图，，
过作，交的延长线于点，

∵   ，，
∴   ，
又，
∴   ，
若该三角形为锐角三角形，如图，，
过作交于点，

∵   ，，
∴   ，
又，
∴   ，
综上可知该三角形的底角为或，
 

16.分析：首先延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，由BD+DC=AB，易得△ABE是等边三角形，继而证得△ACD≌△ADE，则可证得：∠ACD=∠E=60°．

证明：延长BD至E，使CD=DE，连接AE，AD，
∵BD+CD=AB，BE=BD+DE，∴BE=AB，
∵∠ABD=60°，∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AC，∠E=60°，
在△ACD和△ADE中，AC=AE,CD=DE,AD=AD

∴△ACD≌△ADE（SSS），
∴∠ACD=∠E=60°．

17.解：BE⊥AC.

理由：在Rt△BDE和 Rt△ACD中，

∴Rt△BDE≌ Rt△ACD (HL)．

∴∠BDE=∠CAD.

∵AD是△ABC的高，∴∠CAD+∠C=90°.

∴∠BDE +∠C=90°.

∴∠BFD=90°    ∴BE⊥AC.