第一章 三角形的证明（基础卷）——2022-2023学年八年级下册数学单元卷（北师大版）（原卷版+解析版）

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第一章  三角形的证明（A卷·知识通关练）

考点1  等腰三角形的性质

【方法点拨】掌握等腰三角形的性质：

1.等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。

2.等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”）。

3.等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

1. 如图，在中，，为内的一点，且，，则的大小为　　

A． B． C． D．

2. 已知等腰三角形的一边长为，周长为，则腰长为　　

A．或 B． C． D．或

3. 若一个等腰三角形的两边长分别为5和12，则该三角形的周长是　　

A．5 B．5或12 C．22或29 D．29

4. 已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于　　

A．或 B． C． D．或

考点2  等腰三角形的判定

【方法点拨】掌握等腰三角形的判定：

等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。简称“等角对等边”

牢记：（1）等腰三角形的性质“等边对等角”与等腰三角形的判定“等角对等边”的条件和结论正好相反，要注意区分；

（2）判定定理可以用来判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据。

5. 下列三角形中，不是等腰三角形的是　　

A． B． 

C． D．

6. 如图，平面直角坐标系中，已知，．若在坐标轴上取点，使为等腰三角形，则满足条件的点的个数是　　

A．5 B．6 C．7 D．8

7. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是　　

①的面积等于的面积；

②；

③；

④．

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④

8. 如图，已知，在边 上顺次取点，，，在边 上顺次取点，，，使得，得到等腰△，△，△，△

（1）若，可以得到的最后一个等腰三角形是　  　；

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△，则 的度数 的取值范围是　　．

考点3  “三线合一”性质的应用

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE平分∠ABC，G为EF的中点，求证：AG⊥EF．

10. 在△ABC中，BC边上的高AG平分∠BAC．

（1）如图1，求证：AB＝AC；

（2）如图2，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BC＝10cm，DE＝6cm，求BD的长．

11. 已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．

12. 如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，求证：DM＝DN；

（2）若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．

考点4  等边三角形的判定与性质

【方法点拨】等边三角形的性质：

（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；

（2）等边三角形的每个角都等于60°。

等边三角形的判定：

（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

13. 如图，在边长为2的等边三角形中，为边上一点，且．点，分别在边，上，且，为边的中点，连接交于点．若，则的长为　　

A． B． C． D．

14. 已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，、相交于点，、相交于点，则下列五个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形．其中，正确的有　　

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

15. 如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一点，点是线段上一点且，下面的结论：①；②是等边三角形；③；④．其中正确的为 　       　．（填序号）

16. 如图，等边的边长为6，，的角平分线交于点，过点作，交、于点、，则的长度为　   　．

考点5  直角三角形全等的判定

【方法点拨】对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

17. 使两个直角三角形全等的条件是　　

A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 

C．一条边对应相等 D．斜边及一条直角边对应相等

18. 如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是　　

A． B． C． D．

19. 下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　

A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 

C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等

20. 如图所示，已知在中，，，交于点，若，则　　

A． B． C． D．

考点6  直角三角形性质的综合应用

【方法点拨】掌握直角三角形两条重要的性质：（1）斜边上的中线为斜边的一半。

（2）30°角所对直角边为斜边一半。且两直角边成倍关系。

21. 如图，直线，如图放置，若，，则的度数为　　

A． B． C． D．

22. 如图，沿直线折叠，使点与边上的点重合，若，，则等于　　

A． B． C． D．

23. 如图，从旗杆的顶端向地面拉一条绳子，绳子底端恰好在地面处，若旗杆的高度为3.2米，则绳子的长度不可能是　　

A．3 B．3.3 C．4 D．5

24. 如图，在中，，，是上一点，于点，于点，则的度数为　　

A． B． C． D．

考点7  角平分线性质的应用

【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等

牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；

（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

25. 如图，，平分，于点，交于点，若，则的长为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

26. 如图，平分，于点，若，点是边上一动点，关于线段叙述正确的是　　

A． B． C． D．

27. 如图，在中，为的平分线，于，于，的面积是，，，则的长　　

A． B． C． D．

28. 如图，，，垂足分别为、．，若，则　　．

考点8  线段垂直平分线性质的应用

【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

（2）在使用该定理时必须保证两个前提条件：一是垂直于这条线段，二是平分这条线段。

29. 如图，在中，的垂直平分线与边，分别交于点，．已知与的周长分别为和，则的长为　　

A． B． C． D．

30. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于点和，，，则为　　

A． B． C． D．

31. 如图，，分别是线段，的垂直平分线，连接，，则　　

A． B． C． D．

32. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为　　

A．26 B．20 C．18 D．14

考点9  等腰三角形与全等三角形的综合

33. 如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．

（1）求证：BF＝AC；

（2）若CD＝3，求AF的长．

34. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：CD＝BF；

（2）求证：AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状．

35. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．

（1）求证：AE＝CE；

（2）求证：△AEF≌△CEB．

36. 如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．

（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；

（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．

考点10  与三角形有关的动点问题

37. 如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．

（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？

（2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？

（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．

38. 已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．

（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．

（2）如图2，若EF与AB不平行． 则问题（1）的结论是否成立？说明理由．

39. △ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．

（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是　   　三角形；

（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°

①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；

②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．

40. 如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；

（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；

（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．