第二章+第六课时+2.3.1+两条直线的交点坐标+课中-高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册课前课中课后同步试题精编

2.3.1  两条直线的交点坐标

学习目标：

1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．

2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系．

方法要点：

1．求两相交直线的交点坐标．

（1）求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组．

（2）解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法．

2．解含参数的直线恒过定点问题的策略

（1）方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

（2）方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为，

其中是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组，

解得．若整理成的形式，则表示的所有直线必过定点．

3．对称问题中的直观想象与数学运算

（1）可以通过直观想象理解对称问题中的点线位置关系．

（2）直线的对称可以转化为点的对称，其中的点、直线可以通过数学运算确定．

典型例题：

题组一、求相交直线的交点坐标

例1（1）求经过点且经过直线与的交点的直线方程；

（2）求经过两条直线和的交点且与直线垂直的直线方程．

变式（1）已知直线与相交，则它们的交点是（    ）

A．           B．             C．             D．

（2）经过直线与的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ）

A．     B．      C．     D．

题组二、直线系过定点问题

例2  无论为何值，直线恒过一定点，求点的坐标．

变式  已知直线，求证：无论为何值，直线总经过第一象限．

题组三、对称问题

例3  光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．

当堂检测：

1．两条直线与的交点坐标为（    ）

A．             B．              C．          D．

2．直线与直线的交点在（    ）

A．第一象限          B．第二象限           C．第三象限           D．第四象限

3．不论为何实数，直线恒过定点（    ）

A．           B．           C．            D．

4．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为________．

5．若三条直线，和相交于一点，则________．

参考答案

典型例题：

例1.【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

【详解】（1）联立，解得，

所以直线与的交点为．

由两点式可得所求直线的方程为，

即．

（2）由方程组，得，

因为所求直线和直线垂直，

所以所求直线的斜率，

所以有，

即所求的直线方程为．

变式【答案】（1）B；（2）A

【解析】

【分析】

【详解】

例2.【答案】

【解析】

【分析】

【详解】∵，

∴，

∴，∴．

∴点的坐标为．

变式【答案】无论为何值，直线总经过第一象限，证明见详解

【解析】

【分析】

【详解】将直线方程整理为．

因为直线与的交点为，

即直线系恒过第一象限内的定点，

所以无论为何值，直线总经过第一象限．

例3【答案】

【解析】

【分析】

【详解】设点关于直线的对称点为，

则，解得．

由于反射光线经过点和，

所以反射光线所在直线的方程为

，即．

解方程组，得反射点．

所以入射光线所在直线的方程为

，即．

当堂检测

1．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】解方程组，得．

2．【答案】B

【解析】

【分析】

【详解】联立，解得．

∴交点在第二象限．故选B．

3．【答案】C

【解析】

【分析】

【详解】直线的方程可化为，

令，解得，

∴直线恒过定点．故选C．

4．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】设所求直线方程为，

即，

∴，解得．

∴所求直线方程为．

5．【答案】

【解析】

【分析】

【详解】解方程组，得，

又该点也在直线上，

∴，∴．