人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀教学设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀教学设计，共12页。教案主要包含了想一想1，想一想2，设计意图，类题通法，巩固练习1，延伸探究1，延伸探究2，巩固练习2等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：
平面向量基本定理是在学习了共线向量基本定理的前提下，进一步研究平面内任意向量的表示，为今后平面向量的坐标运算建立向量坐标的一个逻辑基础，只有正确地构建向量的坐标才能有正确的坐标运算。平面向量的基本定理的研究综合了前面学习过的向量知识，同时又为后续的学习做了奠基，起到了承前启后的作用。
1.理解平面向量基本定理，了解向量的一组基底的含义，培养数学抽象的核心素养；
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量，培养逻辑推理的核心素养；
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题，提升数学运算的核心素养。
1.重点：了解平面向量基本定理及其意义；
2.难点：了解向量基底的含义；
在平面内，当一组基底确定后，会用这组基底来表示其他向量。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
音乐是人们在休闲时候的一种选择，不管是通俗的流行歌曲、动感的摇滚音乐，还是高雅的古典音乐，它们都给了人们不同的享受、不一样的感觉.事实上，音乐有基本音符：D Re Mi Fa S La Si，所有的乐谱都是这几个音符的巧妙组合，音乐的奇妙就在于此.
在多样的向量中，我们能否找到它的“基本音符”呢？
2.探索交流，解决问题
【想一想1】在物理中，如图，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力也可以分解为两个不同方向的力.那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1,e2，能否将向量a按e1,e2的方向分解?如果能，分解方法唯一吗？
【提示】当非零向量e1,e2共线时,向量a不一定能按e1,e2的方向分解,当非零向量e1,e2不共线时,任意向量a一定可以按e1,e2的方向分解,且分解方法是唯一的.
【想一想2】表示的依据是什么？
【提示】向量的数乘运算和平行四边形法则.
【设计意图】通过复习初中所学力的合成与分解引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）平面向量基本定理
【探究1】那么对于平面内的任意向量a和两个非零向量e1，e2，能否将向量a按e1，e2的方向分解？如果能，分解方法唯一吗？
[提示] 当非零向量e1，e2共线时，向量a不一定能按e1，e2的方向分解，当非零向量e1，e2不共线时，任意向量a一定可以按e1，e2的方向分解，且分解方法是唯一的．
【探究2】当是零向量时，还能用表示吗？
[提示]可以，取，，则。
【探究3】若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？
[提示]若向量与共线，取，则
若向量与共线时，取，则
1.平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，
有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2。
若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
对基底的理解
(1)基底的特征
基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．
零向量与任意向量共线，故不能作为基底．
理解平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．
(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．
【辩一辩】判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”.
(1)只有非零向量才能用平面内的一组基底e1,e2线性表示.( )
(2)同一向量用两组不同的基底表示时,表示方法是相同的.( )
(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可用这组基底唯一表示．( )
答案:(1)× (2)× (3)√ （4）√
【设计意图】通过探究让学生理解平面向量基本定理的意义，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.基底概念的理解
例1.设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是( )
A.e1＋e2和e1－e2 B.3e1－4e2和6e1－8e2
C.e1＋2e2和2e1＋e2 D.e1和e1＋e2
解析：选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.
答案：B
【类题通法】对基底的理解
两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底．
【巩固练习1】（1）设点O是▱ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
①eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))；②eq \(DA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))；③eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))；④eq \(OD,\s\up6(→))与eq \(OB,\s\up6(→)).
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→)) B.eq \(OA,\s\up6(→))，
C.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→)) D.eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(DE,\s\up6(→))
解析：（1）寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD中，eq \(AD,\s\up6(→))与eq \(AB,\s\up6(→))不共线，eq \(CA,\s\up6(→))与eq \(DC,\s\up6(→))不共线；
而eq \(DA,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))∥eq \(OB,\s\up6(→))，故①③可作为基底．
（2）由题图可知，eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(CF,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(DE,\s\up6(→))共线，不能作为基底向量，
eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(CD,\s\up6(→))不共线，可作为基底向量．
答案：（1）B （2）B
2.用基底表示向量
例2.如图所示，已知▱ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，试以a、b为基底表示eq \(DE,\s\up6(→))、eq \(BF,\s\up6(→)).
解析：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＝2eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(CD,\s\up6(→))＝2eq \(CF,\s\up6(→))，
∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a.
∴eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝－eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＝－b＋a＋eq \f(1,2)b＝a－eq \f(1,2)b，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝b－eq \f(1,2)a.
【延伸探究1】在本例中，若取eq \(AC,\s\up12(→))＝x，eq \(DB,\s\up12(→))＝y作为基底，试用x，y表示eq \(DE,\s\up12(→))，eq \(BF,\s\up12(→)).
解析：依题意x＝a＋b，y＝a－b，∴x＋y＝2a，x－y＝2b，
∴a＝eq \f(1,2)(x＋y)，b＝eq \f(1,2)(x－y)，
于是eq \(DE,\s\up12(→))＝a－eq \f(1,2)b＝eq \f(1,2)(x＋y)－eq \f(1,4)(x－y)＝eq \f(1,4)x＋eq \f(3,4)y，
eq \(BF,\s\up12(→))＝b－eq \f(1,2)a＝eq \f(1,2)(x－y)－eq \f(1,4)(x＋y)＝eq \f(1,4)x－eq \f(3,4)y.
【延伸探究2】在本例中，若取eq \(DE,\s\up6(→))＝e，eq \(BF,\s\up6(→))＝f作为基底，试用e，f表示eq \(DB,\s\up6(→)).
解析：由例题，知eq \(DE,\s\up12(→))＝a－eq \f(1,2)b=e，eq \(BF,\s\up12(→))＝b－eq \f(1,2)a=f.
解得a=e+f，b=e+f.
所以a-b=e+f-(e+f)=e-f.
【类题通法】用基底表示向量的方法
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．
提醒：一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．
【巩固练习2】在△ABC中，点D，E，F依次是边AB的四等分点，试以eq \(CB,\s\up6(→))＝e1，eq \(CA,\s\up6(→))＝e2为基底表示eq \(CF,\s\up6(→)).
解析：eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))－eq \(CA,\s\up6(→))＝e1－e2，因为D，E，F依次是边AB的四等分点，
所以eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(e1－e2)，所以eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝e2＋eq \f(3,4)(e1－e2)＝eq \f(3,4)e1＋eq \f(1,4)e2.
3.平面向量基本定理的综合应用
例3.正三角形ABC边长为2,设 BC=2BD,AC=3AE, 则AD·BE= .
解析： AD·BE=12(AB+AC)·(AE−AB)=12(AB+AC)·13AC-AB
=16AB·AC−12AB2+13AC2−AB·AC=16×2-12×4+13×4-2=−73.
答案:-73
【类题通法】数量积的计算中，利用平面向量基本定理可以把需要的向量表示出来，再根据数量积的运算法则进行计算。
【巩固练习3】如图所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且AE=2EB.求证:AD⊥CE.
证明：AD·CE=(AC+CD)·(CA+AE)
=AC+12CB·CA+23AB
=AC+12CB·CA+23CB-23CA
=AC+12CB·13CA+23CB
=-13|CA|2+13|CB|2.
因为CA=CB,所以-13|CA|2+13|CB|2=0,
故AD⊥CE.
（四）操作演练 素养提升
1．设e1、e2是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是( )
A．e1与e1－e2 B．e1＋e2与e1－3e2
C．e1－2e2与－3e1＋6e2 D．2e1＋3e2与e1－2e2
解析：∵－3e1＋6e2＝－3(e1－2e2)，∴e1－2e2与－3e1＋6e2共线，故不能作为基底．
2．已知非零向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))不共线，且2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，若eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))(λ∈R)，则x，y满足的关系是( )
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：由eq \(PA,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))，得eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→))＝λ(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，即eq \(OP,\s\up6(→))＝(1＋λ)eq \(OA,\s\up6(→))－λeq \(OB,\s\up6(→)).又2eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2＋2λ，,y＝－2λ，))消去λ得x＋y＝2.
3.在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
解析：如图，因为BC＝3MC，DC＝4NC，且AB＝4，AD＝3，
因为eq \(AN,\s\up6(→))·eq \(MN,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DN,\s\up6(→)))·(eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→)))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \f(1,3)eq \(AD,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)|eq \(AD,\s\up6(→))|2－eq \f(3,16)|AB|2＝eq \f(1,3)×9－eq \f(3,16)×16＝0.所以AN⊥MN，所以△AMN是直角三角形．
4.如图，在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若eq \(AC,\s\up6(→))＝λeq \(AE,\s\up6(→))＋μeq \(AF,\s\up6(→))，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.
解析 设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋b，eq \(AF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)b，
又∵eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)(eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)))，即λ＝μ＝eq \f(2,3)，∴λ＋μ＝eq \f(4,3).
答案：1.C 2.A 3.C 4. eq \f(4,3)

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第27页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第1,11题










课时内容
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
所在位置
教材第25页
教材第27页
教材第29页
教材第31页
教材第34页
新教材
内容
分析
平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。
在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
核心素养培养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。
会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。
掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。
教学主线
平面向量基本定理