高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质教案，共8页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：
学生已经掌握了向量的概念和简单的线性运算，并且上节课学习了平面向量的基本定理，学生对向量和数之间的关系已经有了一定的认识，已经能感觉到向量是可以用实数表示的，教师只需对学生进行适当的引导，让学生自己去发现最佳的表示方法，感受这个探究过程。
1.借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解，培养数学抽象的核心素养；
2.掌握平面向量的坐标表示,提升数学运算的核心素养。
1.重点：掌握向量的坐标表示
2.难点：了解平面向量的正交分解
（一）新知导入
【思考】如图,向量i,j是两个互相垂直的单位向量,向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,以向量i,j为基底,向量a如何表示?
【提示】因为向量a与i的夹角是30°,且|a|=4,所以OA=2，OB=2，于是a=2i+2j.
【设计意图】通过复习平面向量基本定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）平面向量的正交分解及坐标表示
【探究1】在平面中,垂直的两个非零向量a,b能否作为平面内所有向量的一组基底?
[提示]能,平面内任何两个不共线的向量都可以作为一组基底.
【探究2】在平面内,e1,e2是两个互相垂直的非零向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示?表示是否唯一?
[提示]由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用e1,e2来表示,且表示方法是唯一的.
【探究3】在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量 ,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗?如果向量也用(x,y)表示,那么这种向量与实数对(x,y)之间是否一一对应?
[提示]相同，一一对应。
1.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．a＝xi＋yj,则a＝(x，y)
2．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a＝(x，y)就叫做向量的坐标表示．显然，i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0).
在平面直角坐标系中，若A(x，y)，则eq \(OA,\s\up12(→))＝(x，y)
【想一想】点的坐标与向量坐标有何区别？
【提示】 (1)向量a＝(x，y)中间用等号连接，而点的坐标A(x，y)中间没有等号．
(2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．
(3)在平面直角坐标系中，符号(x，y)可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x，y)或向量(x，y).
【设计意图】通过探究让学生理解平面向量的正交分解与坐标表示，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.平面向量的正交分解及坐标表示
例1.如图，取与x轴、y轴同向的两个单位向量i、j作为基底，分别用i、j表示eq \(OA,\s\up12(→))、eq \(OB,\s\up12(→))、eq \(AB,\s\up12(→))，并求出它们的坐标．
解析：（1）eq \(OA,\s\up12(→))＝6i＋2j，eq \(OB,\s\up12(→))＝2i＋4j，eq \(AB,\s\up12(→))＝－4i＋2j，
它们的坐标表示为eq \(OA,\s\up12(→))＝(6,2)，eq \(OB,\s\up12(→))＝(2,4)，eq \(AB,\s\up12(→))＝(－4,2)．
【类题通法】求平面向量坐标的方法:
(1)若i、j是分别与x轴、y轴同方向的单位向量,则当a=xi+j时,向量a的坐标即为(x,y).
(2)当向量的始点在坐标原点时,向量的坐标才等于终点的坐标.
(3)求向量的坐标一般转化为求点的坐标.解题时,常常结合几何图形,进行计算.
【巩固练习1】如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标
解析：



2.向量的坐标的应用
例2.已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在第一象限，D为AC的中点，分别求向量eq \(AB,\s\up12(→))，eq \(AC,\s\up12(→)) 的坐标．
解析 ：如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cs 60°，2sin 60°)，
∴C(1，eq \r(3))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴eq \(AB,\s\up12(→))＝(2,0)，eq \(AC,\s\up12(→))＝(1，eq \r(3))
【类题通法】求一个向量的坐标可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
【巩固练习2】已知O是坐标原点，点A在第一象限，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝4eq \r(3)，∠xOA＝60°.
求向量eq \(OA,\s\up6(→))的坐标；
解析：设点A(x，y)，则x＝4eq \r(3)cs 60°＝2eq \r(3)，y＝4eq \r(3)sin 60°＝6，
即A(2eq \r(3)，6)，eq \(OA,\s\up6(→))＝(2eq \r(3)，6)．
（四）操作演练 素养提升
1.已知i、j分别是方向与x轴正方向、y轴正方向相同的单位向量，O为原点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则点A位于( )
A．第一、二象限B．第二、三象限
C．第三象限D．第四象限
2.如图,在正方形ABCD中,O为中心,且 =(-1,-1),则 =_________;
=_________; =____________.

3、已知A(2,0)，a＝(x＋3，x－3y－5)，若a＝Oeq \(A,\s\up12(→))，其中O为原点，求x、y的值．
4、如果将绕原点O逆时针方向旋转120°得到，则求的坐标。
答案：1.D 2.(1,-1) (1,1) (-1,1) 3. x=-1,y=-2 4.
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：










课时内容
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
所在位置
教材第25页
教材第27页
教材第29页
教材第31页
教材第34页
新教材
内容
分析
平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。
在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
核心素养培养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。
会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。
掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。
教学主线
平面向量基本定理