高中数学第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示获奖教案

这是一份高中数学第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示获奖教案，共13页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，巩固练习4等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：
利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、向量的夹角的坐标表示。
1.能用坐标表示平面向量的数量积，培养数学抽象的核心素养；
2.会用坐标表示两个平面向量的夹角，提升数学运算的核心素养；
3.能用坐标表示平面向量垂直的条件，培养数学运算的核心素养。
1.重点：掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算
2.难点：会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
“我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它能使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究.
2.探索交流，解决问题
【思考1】在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3，2)，b＝(2，1)，则a·b的值为多少？
【提示】由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2.
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，故a·b＝8.
【设计意图】通过复习向量的坐标表示、数量积的运算引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）数量积的坐标表示
【探究1】通过对平面向量的数量积及向量线性坐标运算的学习，能否已根据两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，用a和b的坐标表示a·b ?
【提示】记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
【探究2】若a＝（x，y），如何计算向量的模|a| ？
【提示】|a|=
【探究3】若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量的模？
【提示】 （两点间的距离公式）
【探究4】已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a⊥b ？
【提示】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
【探究5】已知两个非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），怎样用坐标表示a， b的夹角呢？
【提示】设θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
平面向量的模与夹角的坐标表示：
(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝eq \r(x2＋y2)．
（2）两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2).
(3)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1))\r(xeq \\al(2,2)＋yeq \\al(2,2)))．
(4)两个向量垂直的充要条件：设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，
二者不能混淆，可以对比学习、记忆.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
【做一做】1.已知a＝(－1，3)，b＝(2，4)，则a·b的值是________.
解析：a·b＝(－1)×2＋3×4＝10.
答案：10
2.已知a＝(2，－1)，b＝(1，x)，且a⊥b，则x＝________.
解析：由题意知a·b＝2×1＋(－1)×x＝0，得x＝2.
答案：2
3.已知向量a＝(4，－1)，b＝(x，3)，若|a|＝|b|，则x＝________.
解析：由|a|＝|b|得eq \r(42＋（－1）2)＝eq \r(x2＋32)，解得x＝±2eq \r(2).
答案：±2eq \r(2)
4.已知a＝(eq \r(3)，1)，b＝(－eq \r(3)，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.
答案：120°
【设计意图】通过探究让学生理解数量积的坐标表示，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.数量积的坐标运算
例1. （1）已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)＝( )
A.10 B.－10 C.3 D.－3
（2）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M，N分别在DC，BC上，且DM＝eq \f(1,2)MC，BN＝eq \f(1,2)BC，则eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝________.
解析：（1） a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1，2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
（2）法一：eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→)))＝0＋eq \f(1,2)·22＋eq \f(1,3)·32＋eq \f(1,3)·0＝5.
法二：以A为原点，AB，AD分别为x轴，y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，M(1,2)，N(3,1)，于是eq \(AM,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(AN,\s\up6(→))＝(3,1)，故eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(AN,\s\up6(→))＝5.
答案：（1）B （2）5
【类题通法】数量积运算的途径及注意点
(1)进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．
(2)对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标即可求解．
（3）进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：
①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【巩固练习1】（1）设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝( )
A．(－15，12) B．0 C．－3 D．－11
（2）已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝________．
解析：（1）依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，
所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.
（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，
因为eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，所以F(eq \f(4,3)，2)．
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(CF,\s\up6(→))＝(eq \f(4,3)，2)－(2，0)＝(－eq \f(2,3)，2)，
所以eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝(2，1)·(－eq \f(2,3)，2)＝2×(－eq \f(2,3))＋1×2＝eq \f(2,3).
答案：（1）C （2）eq \f(2,3)
2.求向量的模
例2.(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(6) C.eq \r(17) D.eq \r(26)
(2)已知|a|＝2eq \r(13)，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.
解析：(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，
解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝eq \r(5).
(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝2eq \r(13)，得x2＋y2＝52.①
由a⊥b，解得2x－3y＝0.②
联立①②，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－6，,y＝－4.))
所以 a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．
所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，
所以|a＋b|＝eq \r(65).
【类题通法】求向量的模的两种基本策略
(1)利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．
(2)若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝ eq \r(x2＋y2).
【巩固练习2】已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，则|eq \(BC,\s\up6(→))|＝________．
解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，－1)，所以eq \(AC,\s\up6(→))＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y－1＝－1，))解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，
所以eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，2)，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝eq \r(9＋4)＝eq \r(13).
答案：eq \r(13)
3.求向量的夹角
例3.已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1).
(1)试计算a·b及|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值.
解：(1)a＝e1－e2＝(1，0)－(0，1)＝(1，－1)，
b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)，
∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，
|a＋b|＝eq \r(（4＋1）2＋（3－1）2)＝eq \r(25＋4)＝eq \r(29).
(2)设a，b的夹角为θ，由a·b＝|a||b|cs θ，
∴cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1,\r(2)×5)＝eq \f(\r(2),10).
【类题通法】应用向量的夹角公式求夹角时，应先分别求出两个向量的模，再求出它们的数量积，最后代入公式求出夹角的余弦值，进而求出夹角.
【巩固练习3】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m＝( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3) C．0 D．－eq \r(3)
解析：因为a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．
所以|a|＝2，|b|＝eq \r(9＋m2)，a·b＝3＋eq \r(3)m，
又a，b的夹角为eq \f(π,6)，所以eq \f(a·b,|a|·|b|)＝cs eq \f(π,6)，即eq \f(3＋\r(3)m,2\r(9＋m2))＝eq \f(\r(3),2)，
所以eq \r(3)＋m＝eq \r(9＋m2)，解得m＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
4.向量垂直的坐标运算
例4. 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求|eq \(AD,\s\up6(→))|与点D的坐标.
解：设D点坐标为(x，y)，则eq \(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq \(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2).
∵D在直线BC上，即eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(BC,\s\up6(→))共线，∴－6(y－2)＋3(x－3)＝0，即x－2y＋1＝0.①
又∵AD⊥BC，∴eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②
由①②可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))∴|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(（1－2）2＋（1＋1）2)＝eq \r(5)，
即|eq \(AD,\s\up6(→))|＝eq \r(5)，点D的坐标为(1，1).
【类题通法】将题目中的隐含条件挖掘出来，然后坐标化，运用方程的思想进行求解是解向量题常用的方法.
【巩固练习4】已知a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq \(OA,\s\up6(→))＝a－b，eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b.
解：设向量b＝(x，y).根据题意，得eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝0，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(OB,\s\up6(→))|.
∴(a－b)·(a＋b)＝0，|a－b|＝|a＋b|，∴|a|＝|b|，a·b＝0.
又∵a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，即eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,－\f(1,2)x＋\f(\r(3),2)y＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(\r(3),2)，,y＝－\f(1,2).))
∴b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))或b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2))).
（四）操作演练 素养提升
1.若向量a＝(x，2)，b＝(－1，3)，a·b＝3，则x＝( )
A.3 B.－3 C.eq \f(5,3) D.－eq \f(5,3)
解析：a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
答案：A
2.已知a＝(－eq \r(3)，－1)，b＝(1，eq \r(3))，那么a，b的夹角θ＝( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
解析：cs θ＝eq \f(－\r(3)－\r(3),2×2)＝－eq \f(\r(3),2)，又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(5π,6).
答案：D
3.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A.1 B.eq \r(2) C.2 D.4
解析：∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n＝±eq \r(3).
∴|a|＝eq \r(12＋n2)＝2.
答案：C
4.已知向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3eq \r(5)，则b＝( )
A.(－3，6) B.(3，－6)
C.(6，－3) D.(－6，3)
解析：由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，由于|b|＝3eq \r(5).
∴|b|＝eq \r(λ2＋（－2λ）2)＝eq \r(5λ2)＝3eq \r(5)，∴λ＝－3，即b＝(－3，6).
答案：A
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第36页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第9,10,14题










课时内容
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
所在位置
教材第25页
教材第27页
教材第29页
教材第31页
教材第34页
新教材
内容
分析
平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。
在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
核心素养培养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。
会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。
掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。
教学主线
平面向量基本定理