高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示教案

课程目标

学科素养

A.理解平面向量基本定理及其意义；

B.会用基底表示某一向量；

C.通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生发现问题的能力。

1.数学抽象：平面向量基本定理的意义；

2.逻辑推理：推导平面向量基本定理；

3.数学运算：用基底表示其它向量；

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，温故知新

1.共线向量定理

【答案】向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。

2.向量的加法法则

【答案】三角形法则

。

特点:首尾相接，连首尾。

平行四边形法则

特点:同一起点,对角线。

二、探索新知

探究：如图6.3-2（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，如图6.3-2（2），在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？

【答案】如图，

思考1.若向量与共线，还能用表示吗？

【答案】当向量与共线时，。

当向量与共线时，。

思考2.当是零向量时，还能用表示吗？

【答案】

思考3.设是同一平面内两个不共线的向量，在中，是否唯一？

【答案】假设，

即，

所以，所以唯一。

1. 平面向量基本定理：

如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。

我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底。

说明：(1).基底的选择是不唯一的；

(2).同一向量在选定基底后，是唯一存在的。

(3).同一向量在选择不同基底时， 可能相同也可能不同。

例1.如图，不共线，且，用表示。

解：因为，所以

思考4：观察你有什么发现？

【结论】如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。

例2.如图，CD是的中线，，用向量方法证明是直角三角形。

证明：设

所以，

所以。

于是是直角三角形。

通过复习前面所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过探究，利用向量加法的平行四边形法则，用两个不共线的向量表示另一个向量，引出平面向量基本定理，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，进一步完善结论，推出平面向量基本定理。提高学生分析问题、概括能力。

通过说明，让学生进一步理解平面向量基本定理，提高学生理解问题的能力。

通过例题练习平面向量基本定理的运用，提高学生解决问题的能力。

通过思考，得到结论，提高学生的观察、概括能力。

通过例题巩固平面向量基本定理的运用，提高学生用向量知识解决问题的能力。

三、达标检测

1．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是(　　)

A．，　　　 B．，

C．， D．，

【解析】　由于，不共线，所以是一组基底．

【答案】　D

2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是(　　)

A．不共线    B．共线        C．相等     D．不确定

【解析】　∵a＋b＝3e1－e2，∴c＝2(a＋b)，

∴a＋b与c共线．

【答案】　B

3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则＝(　　)

A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)

C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)

【解析】　＝＝(＋)

＝(＋)＝(5e1＋3e2)．

【答案】　A

4．已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有＝＋λ，则λ＝(　　)

A． B．

C．－ D．－

【解析】　∵A，B，D三点共线，

∴存在实数t，使＝t，则－＝t(－)，即＝＋t(－)＝(1－t)＋t，∴即λ＝－.

【答案】　C

5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示c.

【解】　∵a，b不共线，

∴可设c＝xa＋yb，

则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)

＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2.

又∵e1，e2不共线，

∴解得

∴c＝a－2b.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 平面向量基本定理；

2.基底；

五、作业

习题6.3  1,11（1）题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。