数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示教学设计

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第六章 平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
教学设计
一、 教学目标
1. 理解平面向量基本定理及其意义；
2. 会用平面向量基本定理解决有关向量问题.
二、 教学重难点
1. 教学重点
平面向量基本定理及其应用.
2. 教学难点
平面向量基本定理的理解及应用.
三、 教学过程
（一） 新课导入
1． 复习：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
2． 根据这一定理，我们知道，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.那么，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？
（二） 探索新知
已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，通过作平行四边形，可以将力分解为多组大小、方向不同的分力.

问题1 类比力的分解，能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和？
问题2 如图（1），设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量.如图（2），在平面内任取一点O，作.将按的方向分解，能发现什么？

如图，过点C作平行于直线OB的直线，与直线OA交于点M；过点C作平行于直线OA的直线，与直线OB交于点N，则.由与共线，与共线可得，存在实数，使得，所以.也就是说，与都不共线的向量都可以表示成的形式.

问题3 当是与或共线的非零向量时，是否也可以表示成的形式？当是零向量呢？（可以）
平面内任一向量都可以按的方向分解，表示成的形式，而且这种表示形式是唯一的.事实上，如果还可以表示成的形式，那么.可得.假设，不全为0，不妨假设，则.由此可得共线.这与已知不共线矛盾，由此可推出，全为0，即，.也就是说，有且只有一对实数，使.
平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
任一向量都可以由同一个基底唯一表示.
例1（课本P26）
例2（课本P26）
（三）课堂练习
1. 在中，，，若分别在边上，且，.则向量表示( )
A. B. C. D.
答案：A
解析：如图所示，，
因为，所以.
所以.
所以.故选A.

2. 设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
①与；②与；③与；④与.
其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② 　B．①③ 　C．①④ 　D．③④
答案：B
解析：①与不共线；②，则与共线；③与不共线；④，则与共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．故选B.
3. 已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，试用基底表示和.

答案：，，
，
，
，
.
（四） 小结作业
小结：
平面向量基本定理及其应用.
作业：
四、 板书设计
6.3.1 平面向量基本定理
1. 平面向量基本定理；
2. 基底.