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    人教A版(2019)高中数学必修第二册6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 分层作业(原卷+解析卷)

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    高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示精品习题,文件包含人教A版2019高中数学必修第二册635平面向量数量积的坐标表示分层作业原卷docx、人教A版2019高中数学必修第二册635平面向量数量积的坐标表示分层作业解析卷docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共5页, 欢迎下载使用。


    (1); (2) .
    设a=(2,4),b=(1,1),若b⊥(a+mb),则实数m=________.
    3.已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数k的取值范围是( )
    A.(-2,+∞) B.(-2,)∪ C.(-∞,-2) D.(-2,2)
    4.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.
    (1)求向量a的坐标. (2)求向量a与b的夹角.
    二、巩固提高
    5.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
    (1)求证:AB⊥AD;
    (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
    6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使·有最小值,则点P的坐标是________.
    【选做】
    7.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为( )
    A.3 B.5 C.7 D.8
    三、尖子突破
    8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
    9.已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求||与点D的坐标.

    例4 已知向量a=(-2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
    【解析】当a与b共线时,-2k-1=0,k=-,此时a与b方向相反,夹角为180°,
    所以要使a与b的夹角为钝角,则有a·b<0 且a与b不反向.
    由a·b=-2+k<0得k<2. 由a与b不反向得k≠-,所以k的取值范围是∪(-,2).
    2.设a=(2,4),b=(1,1),若b⊥(a+mb),则实数m=________. 【答案】-3.
    3.【解析】(1)当a与b共线时,2k-1=0,k=,此时a,b方向相同,夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角,则有a·b>0且a,b不同向.由a·b=2+k>0得k>-2,且k≠,即实数k的取值范围是(-2,)∪,选B.
    4.【解析】(1)a=(1,2)或a=(-2,1).(2)向量a与b的夹角θ=.
    5.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
    (1)求证:AB⊥AD;
    (2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余弦值.
    【解析】(1)∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3),
    又∵·=1×(-3)+1×3=0 ∴⊥,即AB⊥AD.
    (2)⊥,四边形ABCD为矩形,∴=.
    设C点坐标为(x,y),则=(1,1),=(x+1,y-4),
    ∴得∴C点坐标为(0,5).
    由于=(-2,4),=(-4,2),所以·=8+8=16>0,
    ||=2,||=2.设与夹角为θ,则
    cs θ===>0,解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为.
    6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使·有最小值,则点P的坐标是________.
    【解析】设点P的坐标是(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),
    所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,当x=3时·取得最小值,故点P的坐标为(3,0). 【答案】(3,0)
    【选做】7.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为( )
    A.3 B.5 C.7 D.8
    【解析】以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a4x),
    所以|+3|=≥5. 【答案】B
    8.如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.
    【解析】(1)以A为坐标原点,AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系,
    则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).
    可设F(x,2),因为·=(,0)·(x,2)=x=eq \r(2),
    所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=. 【答案】
    9.已知在△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求||与点D的坐标.
    (2)设点D的坐标为(x,y),则=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).
    ∵D在直线BC上,即与共线,∴存在实数λ,使=λ,
    即(x-3,y-2)=λ(-6,-3),∴ ∴x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.①
    又∵AD⊥BC,∴·=0,即(x-2,y+1)·(-6,-3)=0,∴-6(x-2)-3(y+1)=0,②
    即2x+y-3=0.由①②可得x=1,y=1.即D点坐标为(1,1),=(-1,2),
    ∴||==,综上,||=,D(1,1).
    2024—2025学年下学期高一数学分层作业(11)
    6.3.5平面向量数量积的坐标表示

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