数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示获奖教学设计及反思

这是一份数学必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示获奖教学设计及反思，共12页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：
引进向量的坐标表示后，向量的线性运算可以通过坐标运算来实现，一个自然的想法是向量的某些关系，特别是向量平行、垂直，是否也能通过坐标来研究呢？前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示。
1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示，培养数学抽象的核心素养；
2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，培养数学抽象的核心素养；
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，提示数学运算的核心素养
1.重点：掌握两数乘向量的坐标运算法则，能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法。
2.难点：理解用坐标表示两向量共线的条件。
（一）新知导入
1. 创设情境，生成问题
贝贝和晶晶同做一道数学题：“一人从A地到E地，依次经过B地、C地、D地，且相邻两地之间的距离均为502 km.问从A地到E地的行程有多少？”其解答方法是：
贝贝：502＋502＋502＋502＝1 004＋502＋502＝1 506＋502＝2 008(km).
晶晶：502×4＝2 008(km).
可以看出，晶晶的计算较简捷，乘法是加法的简便运算，构建了乘法运算体系后，给一类问题的解决带来了很大的方便.
2.探索交流，解决问题
【探究1】 当a∥b时，a，b的坐标成比例吗？
【提示】 横纵坐标均不为0时成比例.
【探究2】如果两个非零向量共线，你能通过其坐标判断它们是同向还是反向吗？
【提示】 能.将b写成λa形式，λ>0时，b与a同向，λ<0时，b与a反向.
【设计意图】通过复习共线向量定理引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
（二）平面向量数乘运算的坐标表示
1.【探究1】已知a＝(x，y)，你能得出2a、3a的坐标吗？
[提示]2a＝a＋a＝(x，y)＋(x，y)＝(2x,2y)；
3a＝2a＋a＝(2x,2y)＋(x，y)＝(3x,3y)．
平面向量数乘运算的坐标表示：
已知a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘以原来向量的相应坐标．
【做一做】1.已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A.(－23，－12) B.(23，12)
C.(7，0) D.(－7，0)
解析：由3a－2b＋c＝0，
∴c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)，
∴c＝(－23，－12).
答案：A
2.已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝________.
解析：2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7).
答案：(5，7)
2.【探究2】如果向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，根据共线向量定理，a与b共线时，存在唯一实数λ，使a＝λb，那么根据向量数乘运算的坐标表示，你能发现a与b的坐标之间的关系吗？
[提示]若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1y2＝x2y1.
平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1))，b＝(x2，y2)，其中b≠0.向量a，b(b≠0)
共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
【辩一辩】1.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a∥b，则eq \f(x1,y1)＝eq \f(x2,y2).(×)
2.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y1－x2y2＝0，则a∥b.(×)
3.若向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2－x2y1＝0，则a∥b.(√)
【做一做】下列向量与a＝(1,3)共线的是( )
A．(1,2) B．(－1,3) C．(1，－3) D．(2,6)
答案：D
2.已知向量a＝(－3,3)，b＝(3，x)，若a与b共线，则x等于( )
A．－3 B．3 C．1D．－1
解析：因为a与b共线，则－3x－3×3＝0，解得x＝－3.
答案：A
3.中点坐标公式
若P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点P的坐标为(x，y)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x1＋x2,2)，,y＝\f(y1＋y2,2)，))此公式为线段P1P2的中点坐标公式.
【做一做】已知P(2，6)，Q(－4，0)，则PQ的中点坐标为________.
解析：根据中点坐标公式可得，PQ的中点坐标为(－1，3).
答案：(－1，3)
【设计意图】通过探究让学生掌握向量的数乘的坐标表示，培养数学运算的核心素养。
（三）典型例题
1.向量数乘运算的坐标表示
例1.已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，试求a＋3b,3a－2b＋eq \f(1,2)c.
解析：因为a＝(1,2)，b＝(3，－4)，c＝(－2,6)，
所以a＋3b＝(1,2)＋3(3，－4)＝(1,2)＋(9，－12)＝(10，－10)，
3a－2b＋eq \f(1,2)c＝3(1,2)－2(3，－4)＋eq \f(1,2)(－2,6)＝(3,6)－(6，－8)＋(－1,3)＝(－4,17)．
【类题通法】向量坐标的线性运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量加、减及数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行.
【巩固练习1】（1）已知的坐标，求的坐标。
（2）若A、B、C三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求 eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) 的坐标．
解析：（1）.
（2）∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2,10)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－8,4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－10,14)，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＋2eq \(BC,\s\up6(→))＝(－2,10)＋2(－8,4)＝(－2,10)＋(－16,8)＝(－18,18)，
eq \(BC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝(－8,4)－eq \f(1,2)(－10,14)＝(－8,4)－(－5,7)＝(－3，－3)．
2.平面向量共线的坐标运算
例2.已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
解析：法一：ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)．得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq \f(1,3).
当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)，
∵λ＝－eq \f(1,3)<0，∴ka＋b与a－3b反向．
法二：由法一知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b与a－3b平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得k＝－eq \f(1,3).故ka＋b与a－3b反向．
【类题通法】根据向量共线求参数值的方法：
根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两种处理思路，一是利用向量共线定理a＝λb(b≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
【巩固练习2】（1）已知a＝（4，2），b＝（6，y），且a∥b，则y＝________.
（2）若a＝(eq \r(3)，cs α)，b＝(3，sin α)，且a∥b，则锐角α＝________.
解析：（1）因为a∥b，所以 4y－2×6＝0 解得y＝3 .
（2） ∵a＝(eq \r(3)，cs α)，b＝(3，sin α)，a∥b，∴eq \r(3)sin α－3cs α＝0，即tan α＝eq \r(3)，
又0<α答案：（1）3 （2）eq \f(π,3)
3.向量共线的判定及解决点共线问题
例3.如果向量eq \(AB,\s\up6(→))＝i－2j，eq \(BC,\s\up6(→))＝i＋mj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线．
解析：∵A，B，C三点共线，即eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))共线，
∴存在实数λ，使得eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))，即i－2j＝λ(i＋mj)．
于是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝1，,λm＝－2，))∴m＝－2.
故m＝－2时，A，B，C三点共线．
【类题通法】三点共线问题的实质是向量共线问题，两个向量共线只需满足方向相同或相反，两个向量共线与两个向量平行是一致的，利用向量平行证明三点共线需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明两个向量有公共点．
【巩固练习3】如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，试建立适当的坐标系并用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D，M，B三点共线．
证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(DC,\s\up6(→))|＝1，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2.
∵CE⊥AB，而AD＝DC.∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵eq \(ED,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，
eq \(BC,\s\up6(→))＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴eq \(ED,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))，∴eq \(ED,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，即DE∥BC.
(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，
∴M(0，eq \f(1,2))，∴eq \(MD,\s\up6(→))＝(－1,1)－(0，eq \f(1,2))＝(－1，eq \f(1,2))，
eq \(MB,\s\up6(→))＝(1,0)－(0，eq \f(1,2))＝(1，－eq \f(1,2))，∴eq \(MD,\s\up6(→))＝－eq \(MB,\s\up6(→))，∴eq \(MD,\s\up6(→))∥eq \(MB,\s\up6(→)).
又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．
（四）操作演练 素养提升
1.设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)．若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为( )
A．(2,6) B．(－2,6) C．(2，－6) D．(－2，－6)
解析：由题意可知，4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c.
∴d＝－6(1，－3)－4(－2,4)＋4(－1，－2)．∴d＝(－2，－6)．
答案：D
2．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若a－2b与非零向量m a＋n b共线，则eq \f(m,n)等于( )
A．－2 B．2 C．－eq \f(1,2)D.eq \f(1,2)
解析：因为向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
所以a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，
m a＋n b＝(2m－n,3m＋2n)．
因为a－2b与非零向量ma＋nb共线，
所以eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，解得14m＝－7n，eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
答案：C
3.已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足 eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→)) ，则点P的坐标是________．
解析：设P(x，y)，则eq \(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)，eq \(MN,\s\up6(→))＝(－8,1)．
∵eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MN,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋2)＝eq \f(1,2)(－8,1)．
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－4,y＋2＝\f(1,2)))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1,y＝－\f(3,2)))，∴P(－1，－eq \f(3,2))．
答案：(－1，－eq \f(3,2))
4.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ的值________．
解析：因为a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，又因为(a＋λb)∥c，所以4(1＋λ)－3×2＝0，故λ＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第33页 练习 第1，2，3,4,5题
第36 页 习题6.3 第5,6,7,8，12题










课时内容
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
所在位置
教材第25页
教材第27页
教材第29页
教材第31页
教材第34页
新教材
内容
分析
平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。
在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
核心素养培养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。
会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。
掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。
教学主线
平面向量基本定理