人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀教学设计及反思

这是一份人教A版 (2019)6.3 平面向量基本定理及坐标表示优秀教学设计及反思，共8页。教案主要包含了设计意图，类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第六章《平面向量及其应用》的第三节《平面向量基本定理及坐标表示》。以下是本节的课时安排：
前面学习了向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入了向量的坐标表示后可使向量完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟悉的数量运算，学习这一节后后面平面向量数乘的坐标运算和数量积的坐标运算打下基础。
掌握两个向量和、差的坐标运算法则，提升数学运算的核心素养。
1.重点：平面向量加、减的坐标运算
2.难点：平面向量加、减的坐标运算的应用。
（一）新知导入
“三坐标雷达”亦称一维电扫描雷达，可获得目标的距离、方向和高度信息，比其他二坐标雷达(仅提供方位和距离信息的雷达)多提供了一维高度信息.这使其成为对飞机引导作战的关键设备.此类雷达主要用于引导飞机进行截击作战和给武器系统提供目标指示数据，正如向量，也可以利用平面或空间中的坐标来表示.平面向量的坐标有何运算规律呢？
【思考】已知作用在坐标原点的三个力分别是F1=（3,4），F2=（3,1），F3=（2，-5），这个力的合力坐标是多少？
【设计意图】从物理知识引入本课，从而理解向量加法。
（二）平面向量的加减运算的坐标表示
【探究1】设i、j是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向量a＋b，a－b，如何分别用基底i、j表示？
[提示] a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，a－b＝(x1－x2)i＋(y1－y2)j.
【探究2】已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么?一般地,一个任意向量的坐标如何计算?
【提示】 =(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
平面向量的坐标运算法则：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
【做一做】1.已知A(3，1)，B(2，－1)，则eq \(BA,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(－2，－1) B．(2，1) C．(1，2) D．(－1，－2)
答案：C
2.设i＝(1，0)，j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为____________．
答案：(2，5)，(4，3)
【设计意图】通过探究让学生理解向量加法减法的坐标运算，培养数学抽象的核心素养。
（三）典型例题
1.向量加法运算的坐标表示
例1.设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b＝______。
解析：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3,2－5)＝(2，－3)。
【类题通法】向量加法运算的坐标表示主要是利用加法运算法则进行。
【巩固练习1】若向量eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,2)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(3,4)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝( )
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
解析：eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．
答案：A
2.向量减法运算的坐标表示
例2.已知平面上三个点A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)，求eq \(AB,\s\up6(→))、eq \(AC,\s\up6(→))、eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)).
解析：∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)；
eq \(AC,\s\up6(→))＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；
eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)．
【类题通法】向量减法运算的坐标表示主要是利用减法运算法则进行。
【巩固练习2】（1）设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－b等于( )
(5,4) B．(－5，－4) C．(1,6) D．(1,3)
（2）已知M(2,3)、N(3,1)，则eq \(NM,\s\up6(→))的坐标是( )
A．(2，－1) B．(－1,2) C．(－2,1) D．(1，－2)
解析：（1）a－b＝(3,5)－(－2,1)＝(5,4)．
（2）eq \(NM,\s\up6(→))＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．
3.向量坐标运算的综合应用
例3. 已知点O(0,0)，A(1，t)，B(4t,5)及eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，试求t为何值时：
(1)点P在x轴上；(2)点P在y轴上；(3)点P在第四象限．
解析：设点P的坐标为(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，
∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(4t,5)－(1，t)＝(4t－1,5－t)，
∴eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，t)－(4t－1,5－t)＝(2－4t,2t－5)，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2－4t，,y＝2t－5.))
(1)若点P在x轴上，则y＝2t－5＝0，t＝eq \f(5,2)；
(2)若点P在y轴上，则x＝2－4t＝0，t＝eq \f(1,2)；
(3)若点P在第四象限，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4t>0，,2t－5<0，))解得t【类题通法】向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或横坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．
【巩固练习3】已知在平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A，B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是________．
解析：当ABCD为平行四边形时，
则eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
答案：(1，3)∪(3，＋∞)
（四）操作演练 素养提升
1．已知eq \(OA,\s\up12(→))＝(2,8)，eq \(OB,\s\up12(→))＝(－7,2)，则eq \(AB,\s\up12(→))等于( )
A．(9,6) B．(－5，10) C．(－9，－6) D．(2，4)
2．设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，则a＋b= ，b－a= ．
3．若，，，，且，则实数x，y的值分别是
4.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若eq \(AB,\s\up12(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up12(→))＝(1,3)，则eq \(BD,\s\up12(→))＝________.
答案：1.C 2. (2，－3) (4,－7) 3.4 1 4.(－3，－5)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第30页 练习 第1，2，3题
第36 页 习题6.3 第2,3,4题










课时内容
平面向量基本定理
平面向量的正交分解及坐标表示
平面向量加减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
所在位置
教材第25页
教材第27页
教材第29页
教材第31页
教材第34页
新教材
内容
分析
平面向量的基本定理揭示了平面向量之间的基本关系，是向量解决问题的理论基础，同时平面向量的基本定理也为我们提供了一种重要的数学转化思想。
平面向量基本定理是坐标表示的基础，坐标表示使平面中的向量与坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，也决定了本课内容在向量知识体系中的核心地位。
在教学中始终抓住向量具有几何与代数双重属性，进一步熟悉向量的坐标表示及运算法则、运算律；熟悉向量代数化的重要作用和在实际生活中的应用，加强方程思想和数学应用意识。
前面已经找出两个向量共线的条件，本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示，只要将向量用坐标表示出来，再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示。
由于平面向量数量积涉及了向量的模向量的夹角，因此在实现向量的数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来。
核心素养培养
理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义，培养学生的数学抽象的核心素养；掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量，培养学生数学运算的核心素养。
借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养。
会用坐标表示平面向量的加、减运算，培养学生数学运算的核心素养。
掌握两个向量数乘的坐标运算法则，培养学生数学运算的核心素养；能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，培养学生逻辑推理的核心素养。
通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学运算的数学素养；能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直，培养学生数学运算、逻辑推理的数学素养。
教学主线
平面向量基本定理
文字描述
符号表示
加法
两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
减法
两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量坐标公式
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)