数学必修 第二册6.2 平面向量的运算练习题

这是一份数学必修 第二册6.2 平面向量的运算练习题，共5页。
1．(多选)对于任意一个四边形ABCD，下列式子能化简为 eq \(BC,\s\up6(→))的有( )
A． eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))B． eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))
C． eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))D． eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))
【答案】ABD
【解析】在A中， eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))；在B中， eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))；在C中， eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))；在D中， eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))．
2．下列各式中运算的结果与向量 eq \(AC1,\s\up6(→))共线的有( )
①( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→)))＋ eq \(CC1,\s\up6(→))；②( eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(→)))＋ eq \(D1C1,\s\up6(→))；
③( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BB1,\s\up6(→)))＋ eq \(B1C1,\s\up6(→))；④( eq \(AA1,\s\up6(→))＋ eq \(A1B1,\s\up6(→)))＋ eq \(B1C1,\s\up6(→))．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【解析】由向量加法法则可知都对．
3．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )
A．与向量a方向相同B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同D．与向量b方向相反
【答案】A
【解析】因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，所以a＋b与a同向．
4．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 eq \r(3) km”，则向量a＋b表示( )
A．向东北方向航行2 kmB．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 kmD．向东北方向航行(1＋ eq \r(3)) km
【答案】B
【解析】如图，易知tan α＝ eq \f(1,\r(3))，所以α＝30°．故a＋b的方向是北偏东30°．又|a＋b|＝2 km．故选B．
5．如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|等于( )
A．1B．2
C．3D．2 eq \r(3)
【答案】B
【解析】由正六边形知 eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))，所以| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|＝2．故选B．
6．(多选)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法正确的有( )
A．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
【答案】ACD
【解析】a与b反向，且|a|＞|b|，则a＋b与a同向，所以A正确，B错误；a与b同向，则a＋b与a同向，也与b同向．
7．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则 eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(OQ,\s\up6(→))＝( )
A． eq \(OH,\s\up6(→))B． eq \(OG,\s\up6(→))
C． eq \(FO,\s\up6(→))D． eq \(EO,\s\up6(→))
【答案】C
【解析】设a＝ eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(OQ,\s\up6(→))，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝ eq \(OP,\s\up6(→))＋ eq \(OQ,\s\up6(→))，则a与 eq \(FO,\s\up6(→))长度相等，方向相同，所以a＝ eq \(FO,\s\up6(→))．
8．如图，在平行四边形ABCD中， eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))＝__________．
【答案】 eq \(AC,\s\up6(→))
【解析】利用平行四边形法则求解．
9．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，则| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝__________．
【答案】1
【解析】在菱形ABCD中，连接BD(图略)，因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形．又因为| eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，所以| eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，所以| eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＝| eq \(BD,\s\up6(→))|＝1．
10．如图，D，E，F分别为△ABC的三边AB，BC，CA的中点．求证：
(1) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))；
(2) eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝0．
证明：(1)由向量加法的三角形法则，
∵ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))，
∴ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BE,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CE,\s\up6(→))．
(2)由向量加法的平行四边形法则，
∵ eq \(EA,\s\up6(→))＝ eq \(EF,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))， eq \(FB,\s\up6(→))＝ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(FD,\s\up6(→))， eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DF,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))，
∴ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(FB,\s\up6(→))＋ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(EF,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→))＋ eq \(FD,\s\up6(→))＋ eq \(DF,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝( eq \(EF,\s\up6(→))＋ eq \(FE,\s\up6(→)))＋( eq \(ED,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→)))＋( eq \(FD,\s\up6(→))＋ eq \(DF,\s\up6(→)))＝0＋0＋0＝0．
B级——能力提升练
11．(多选)若a＝( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→)))＋( eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→)))，b是任一非零向量，则下列结论正确的有( )
A．a∥bB．a＋b＝a
C．a＋b＝bD．|a＋b|＜|a|＋|b|
【答案】AC
【解析】∵a＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BC,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(DA,\s\up6(→))＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．
12．已知有向线段 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(CD,\s\up6(→))不平行，则( )
A．| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＞| eq \(AB,\s\up6(→))|B．| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|≥| eq \(CD,\s\up6(→))|
C．| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|≥| eq \(AB,\s\up6(→))|＋| eq \(CD,\s\up6(→))|D．| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＜| eq \(AB,\s\up6(→))|＋| eq \(CD,\s\up6(→))|
【答案】D
【解析】由向量加法的几何意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号在a，b共线的时候取到，所以本题中，| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CD,\s\up6(→))|＜| eq \(AB,\s\up6(→))|＋| eq \(CD,\s\up6(→))|．
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是__________．
①| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|；
②| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|；
③| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝| eq \(BC,\s\up6(→))|2．
【答案】①②③
【解析】如图，以AB，AC为邻边作▱ABDC，因为∠A＝90°，所以▱ABDC为矩形，所以AD＝BC，所以| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))|＝| eq \(AD,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以①正确；因为| eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CD,\s\up6(→))＋ eq \(CA,\s\up6(→))|＝| eq \(CB,\s\up6(→))|＝| eq \(BC,\s\up6(→))|，所以②正确；由勾股定理知| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝| eq \(BC,\s\up6(→))|2，所以③正确．
14．如图，若P为△ABC的外心，且 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))，则∠ACB＝__________．
【答案】120°
【解析】因为 eq \(PA,\s\up6(→))＋ eq \(PB,\s\up6(→))＝ eq \(PC,\s\up6(→))，所以四边形APBC是平行四边形．又因为P为△ABC的外心，所以| eq \(PA,\s\up6(→))|＝| eq \(PB,\s\up6(→))|＝| eq \(PC,\s\up6(→))|．因此∠ACB＝120°．
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？
解：如图，作▱OACB，使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°．
设向量 eq \(OA,\s\up6(→))， eq \(OB,\s\up6(→))分别表示两根绳子的拉力，
则 eq \(CO,\s\up6(→))表示物体所受的重力，且| eq \(OC,\s\up6(→))|＝300 N．
所以| eq \(OA,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|cs 30°＝150 eq \r(3)(N)，
| eq \(OB,\s\up6(→))|＝| eq \(OC,\s\up6(→))|cs 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 eq \r(3) N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N．