高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费同步训练题

6.3.5　平面向量数量积的坐标表示

基础过关练

题组一　向量数量积的坐标运算　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2019北京师范大学附属中学高一期中)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=(　　)

A.12 B.0 C.-3 D.-11

2.已知a=(cos 75°,sin 15°),b=(cos 15°,sin 75°),则a·b的值为(　　)

A.0 B. C. D.1

3.已知向量a=(1,-1),b=(2,x),若a·b=1,则x=(　　)

A.-1 B.- C. D.1

4.已知=(2,2),=(4,1),=(x,0),则当·的值最小时,x的值是(　　)

A.-3 B.3 C.-1 D.1

5.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),方向上的单位向量为e,则向量在上的投影向量为　　　　. 

题组二　向量的模

6.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量方向相同的单位向量为(　　)

A. B.

C. D.

7.(2020广东惠州高一上期末)已知向量a=(1,1),向量b=(2,0),则|a+3b|=　　　　. 

8.(2020北京西城高一上期末)已知向量a=(1,-2),b=(-3,m),其中m∈R.若a,b共线,则|b|=　　　　. 

9.已知向量a=(x,2),b=(-1,1),若|a-b|=|a+b|,则x的值为　　　　. 

10.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,求|+3|的最小值.

题组三　向量的夹角

11.已知向量a=(1,-),b=(0,-2),则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

12.已知向量a=,|b|=2,若a·(b-a)=2,则向量a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D.

13.(2020北京首师大附中高一上期末)已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示,那么向量a,b的夹角为(　　)

A.45° B.60° C.90° D.135°

14.(2020吉林长春外国语学校高二上期末)已知向量a=(2,t),b=(-1,3),若a,b的夹角为钝角,则t的取值范围是(　　)

A.t< B.t>

C.t<且t≠-6 D.t<-6

题组四　向量的垂直

15.已知i=(1,0),j=(0,1),则下列与2i+3j垂直的向量是(　　)

A.3i+2j B.-2i+3j C.-3i+2j D.2i-3j

16.(2020广西柳州高级中学高二上期末)已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),若λa+b与a垂直,则λ=(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

17.已知平面向量a=(1,1),b=(x,-3),且a⊥b,则|a+2b|=(　　)

A. B.7 C.2 D.5

18.已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m=　　　　. 

19.已知a=(2,0),b=(3,1).

(1)当k为何值时,ka-b与a+2b垂直;

(2)若=5a-2b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求m的值.

能力提升练

题组一　向量的模、夹角与向量的垂直　　　　　　 　　　　　 　　　　　

1.(2020山东枣庄三中高一期中,)下列向量中,一定是单位向量的有(　　)

①a=(cos θ,-sin θ);②b=(,);③c=(2x,2-x);④d=(1-x,x).

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.(2020河北衡水武邑中学高一期中,)已知向量a=(1,1),b=(1,m),其中m为实数,当两向量的夹角在内变动时,m的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.

C.∪(1,) D.(1,)

3.()如图,以AB为直径在正方形ABCD内部作半圆O,P为半圆上与A,B不重合的一动点,下面关于|+++|的说法正确的是(深度解析)

A.无最大值,但有最小值

B.既有最大值,又有最小值

C.有最大值,但无最小值

D.既无最大值,又无最小值

4.()若=(cos θ,-1),=(2cos θ,2sin θ),其中θ∈[0,π],则||的最大值为　　　　. 

5.(2020河南九师商周联盟高二联考,)已知p:x-a<0,q:向量a=(2,-1)与b=(3,x)的夹角为锐角.若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为　　　　.易错 

题组二　向量数量积的坐标表示的综合应用

6.(2020北京四中高三下统练,)函数y=tan的部分图象如图所示,则(+)·=(　　)

A.6 B.5 C.4 D.3

7.(2020浙江温州高一上期末,)已知等边△ABC的边长为2,M为BC的中点,若|-t|≥2,则实数t的取值范围为(　　)

A.[1,2] B.[0,2]

C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.(-∞,-1]∪[2,+∞)

8.()已知向量a=(3,2),b=,且函数f(x)=(a+xb)·(xa-b)的图象是一条直线,则|b|=(　　)

A. B. C.2 D.2

9.(2020江西上饶高一期末,)如图,已知矩形ABCD中,AB=3,BC=2,该矩形内一点P满足||=1,记I1=·,I2=·,I3=·,则(　　)

A.存在点P,使得I1=I2

B.存在点P,使得I1=I3

C.对任意的点P,有I2>I1

D.对任意的点P,有I3>I1

10.()定义f(x)=x-2(a·x)·a,给出下列四个向量:①a=(0,0),②a=,③a=,④a=.对于任意非零向量x,y,使f(x)·f(y)=x·y恒成立的向量a的序号是　　　　. 

11.()已知△OAB的顶点坐标为O(0,0),A(2,9),B(6,-3),点P的横坐标为14,且=λ,点Q是边AB上一点,且·=0.

(1)求实数λ的值与点P的坐标;

(2)求点Q的坐标;

(3)若R为线段OQ(含端点)上的一个动点,试求·(+)的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),

∴a+2b=(-5,6),∴(a+2b)·c=-5×3+6×2=-3.

2.B　a·b=cos 75°cos 15°+sin 75°sin 15°=cos(75°-15°)=cos 60°=,故选B.

3.D　∵a·b=(1,-1)·(2,x)=2-x=1,

∴x=1.

4.B　由已知可得=-=(x-2,-2),

=-=(x-4,-1),

所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·的值最小.故选B.

5.答案　e

解析　由已知得=(2,1),=(5,5),因此在上的投影向量为e=e=e.

6.A　由题意得=(-3,4).

设与向量方向相同的单位向量为a,则a=λ=λ(-3,4)=(-3λ,4λ),其中λ>0,

所以|a|==1,解得λ=或λ=-(舍去),

所以与向量方向相同的单位向量为a=.故选A.

7.答案　5

解析　由题意得a+3b=(7,1),

所以|a+3b|===5.

8.答案　3

解析　∵a,b共线,∴m-6=0,即m=6,

∴|b|==3.

9.答案　2

解析　因为a=(x,2),b=(-1,1),

所以a+b=(x-1,3),a-b=(x+1,1).

因为|a-b|=|a+b|,所以=,解得x=2.

10.解析　建立如图所示的平面直角坐标系,

设DC=h,则A(2,0),B(1,h).设P(0,y)(0≤y≤h),则=(2,-y),=(1,h-y),

∴|+3|=≥=5,当且仅当3h=4y,即DP=DC时,等号成立.故|+3|的最小值为5.

11.A　设向量a与向量b的夹角为θ(θ∈[0,π]),

则cos θ=

==,

所以θ=.故选A.

12.A　由已知可得a2=|a|2=1,a·b-a2=2,所以a·b=3.

设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ==,所以θ=.

所以向量a与b的夹角为.故选A.

13.A　将向量b平移,建立如图所示的平面直角坐标系.设每个小正方形网格的边长为1,

则a=(3,1),b=(1,2).

设向量a,b的夹角为θ,则cos θ===,又因为0°≤θ≤180°,所以θ=45°.故选A.

14.C　由题意得,a·b=-2+3t.

∵a与b的夹角为钝角,

∴a·b<0,且a,b不平行,

∴-2+3t<0且6+t≠0,

解得t<且t≠-6.故选C.

15.C　∵i=(1,0),j=(0,1),

∴2i+3j=(2,3).

对于选项A,3i+2j=(3,2),∵(2i+3j)·(3i+2j)=6+6=12≠0,∴A不符合题意;

对于选项B,-2i+3j=(-2,3),∵(2i+3j)·(-2i+3j)=-4+9=5≠0,∴B不符合题意;

对于选项C,-3i+2j=(-3,2),∵(2i+3j)·(-3i+2j)=-6+6=0,∴2i+3j与-3i+2j垂直,∴C符合题意;

对于选项D,2i-3j=(2,-3),∵(2i+3j)·(2i-3j)=4-9=-5≠0,∴D不符合题意.

故选C.

16.A　由题意可得λa+b=(λ+4,-3λ-2),

∵λa+b与a垂直,∴(λa+b)·a=λ+4+9λ+6=0,∴λ=-1.故选A.

17.A　∵a=(1,1),b=(x,-3),a⊥b,

∴a·b=x-3=0,∴x=3,b=(3,-3),

∴a+2b=(7,-5),

∴|a+2b|==,故选A.

18.答案　±4

解析　∵a=(2,m),b=(4,-2),

∴a+b=(6,m-2),a-b=(-2,m+2).

又∵(a+b)⊥(a-b),

∴(a+b)·(a-b)=6×(-2)+(m-2)(m+2)=0,∴m2=16,

∴m=±4.

19.解析　(1)因为a=(2,0),b=(3,1),

所以ka-b=(2k-3,-1),a+2b=(8,2),

由ka-b与a+2b垂直,得8(2k-3)+(-1)×2=0,所以k=.

(2)由题得=5a-2b=(4,-2),=a+mb=(2+3m,m),

因为A,B,C三点共线,所以,共线.

从而4m+2(2+3m)=0,

解得m=-.

能力提升练

1. B

1.B |a|=1,|b|=1,|c|=≥,|d|===≥,所以一定是单位向量的有2个.故选B.

2.C　设向量a,b的起点均为O(O为坐标原点),终点分别为A,B.由题意可知,=(1,1),即A(1,1).如图所示,当点B位于B1或B2时,a与b的夹角为,即∠AOB1=∠AOB2=,此时∠B1Ox=-=,∠B2Ox=+=,故B1,B2(1,),又a与b的夹角不为零,故m≠1.所以m的取值范围是∪(1,).

3.A　设正方形的边长为2.建立如图所示的平面直角坐标系,连接OP,

则C(1,2),D(-1,2),||=1,

设P(cos θ,sin θ),其中0<θ<π,

则+++=2++=(-2cos θ,-2sin θ)+(1-cos θ,2-sin θ)+(-1-cos θ,2-sin θ) =(-4cos θ,4-4sin θ),

∴|+++|

=

=,

∵θ∈(0,π),∴sin θ∈(0,1],

∴|+++|∈[0,4).故选A.

导师点睛

本题考查了向量的加法及向量模的计算,利用建系、坐标表示的方法,通过引入三角函数使问题变得思路清晰,计算简便.遇见正方形、圆、等边三角形、直角三角形等特殊图形常用建系的方法.

4.答案　3

解析　由题意可得,=-=(cos θ,2sin θ+1), 所以=cos 2θ+(2sin θ+1)2=3sin 2θ+4sin θ+2=3+,因为θ∈[0,π],所以sin θ∈[0,1],所以当sin θ=1时,||2取得最大值 9,所以||的最大值为3.

5.答案　

解析　由题意知,p:x-a<0,即x<a;

q:向量a=(2,-1)与b=(3,x)的夹角为锐角,即a·b>0,且a与b不共线,

∴∴x<6且x≠-.

∵p是q的充分不必要条件,

∴a≤-,故a的取值范围为.

易错警示

本题答案易错写为a≤6,要注意q中x的取值范围为x<6且x≠-,即q中x的值不能取-,所以要满足p是q的充分不必要条件,实数a的取值范围应为.

6.A　令y=tan=0,即x-=kπ,k∈Z,当k=0时,解得x=2;令y=tan=1,即x-=+kπ,k∈Z,当k=0时,解得x=3.

∴A(2,0),B(3,1),

∴=(2,0),=(3,1),=(1,1),

∴(+)·=5+1=6.

7.C　如图所示,建立平面直角坐标系.

∵等边△ABC的边长为2,

∴M(0,0),A(0,),B(-1,0).

∴=(-1,-),=(0,-),

∴-t=(-1,-+t),

∴|-t|=≥2,化简,得t2-2t≥0,

∴t≥2或t≤0,故选C.

8.A　f(x)=(a+xb)·(xa-b)=x|a|2-a·b+x2a·b-x|b|2,因为函数f(x)的图象是一条直线,所以a·b=0,且|a|2≠|b|2,所以3×(-1)+2×=0且13≠1+,解得m=-2,所以b=,|b|==.

9.C　如图,以C为原点,CD、CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,

则C(0,0),A(-3,-2),B(0,-2),D(-3,0),∴=(3,0),=(3,2),=(0,2).

∵||=1,且P在矩形内,∴P在第三象限,设P(cos α,sin α),∴=(cos α+3,sin α+2),I1=·=3cos α+9,I2=·=3cos α+2sin α+13,I3=·=2sin α+4,

∴I2-I1=2sin α+4>0,即I2>I1,故A错误,C正确;I3-I1=2sin α-3cos α-5=sin(α-θ)-5<0,即I3<I1,故B、D错误.

10.答案　①③④

解析　当a=(0,0)时, f(x)=x, f(y)=y,满足f(x)·f(y)=x·y,故①满足题意;

当a≠0时, f(x)·f(y)=[x-2(a·x)·a]·[y-2(a·y)·a]=x·y-4(a·x)·(a·y)+4(a·x)·(a·y)·a2,

要满足f(x)·f(y)=x·y,

需满足4(a·x)·(a·y)·a2=4(a·x)·(a·y),∴a2=1,

②中,a2=+=,不满足题意;③中,a2=+=1,满足题意;④中,a2=+=1,满足题意.

故符合题意的序号为①③④.

11.解析　(1)设P(14,y),则=(14,y),

=(-8,-3-y),由=λ,得(14,y)=λ(-8,-3-y),解得λ=-,y=-7,

∴点P的坐标为(14,-7).

(2)设Q(a,b),则=(a,b),

由(1)得=(12,-16),

∵·=0,

∴12a-16b=0,即3a-4b=0.①

∵点Q在边AB上,∴∥,

又=(4,-12),=(a-2,b-9),

∴4(b-9)+12(a-2)=0,即3a+b-15=0.②

联立①②,解得a=4,b=3,

∴Q点坐标为(4,3).

(3)由(2)得=(4,3),∵R为线段OQ上的一个动点,∴设=t=(4t,3t),且0≤t≤1,则R(4t,3t),=(-4t,-3t),=(2-4t,9-3t),=(6-4t,-3-3t),

∴+=(8-8t,6-6t),

∴·(+)=-4t·(8-8t)-3t·(6-6t)=50t2-50t=50-(0≤t≤1),当t=0或1时,上式取得最大值0;当t=时,上式取得最小值-.

故·(+)的取值范围为.