高中6.3 平面向量基本定理及坐标表示一课一练

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6.3.5　平面向量数量积的坐标表示1.已知平面向量a=（1，m），b=（2，5），c=（m，0），且（a+c）⊥（a-b），则m=（　　）A.3+10 B.3-10 C.3±10 D.-3±10【答案】C【解析】∵a=（1，m），b=（2，5），c=（m，0），∴a+c=（1+m，m），a-b=（-1，m-5）.又（a+c）⊥（a-b），∴-1-m+m（m-5）=m2-6m-1=0，解得m=3±10.2.已知a=（-4，3），b=（5，6），则3|a|2-4a·b等于（　　）A.23 B.57 C.63 D.83【答案】D【解析】因为|a|2=（-4）2+32=25，a·b=（-4）×5+3×6=-2，所以3|a|2-4a·b=3×25-4×（-2）=83.3.设向量a与b的夹角为θ，a=（2，1），a+3b=（5，4），则sin θ等于（　　）A.1010 B.13 C.31010 D.45【答案】A【解析】设b=（x，y），则a+3b=（2+3x，1+3y），又因为a+3b=（5，4），所以2+3x=5,1+3y=4,解得x=1,y=1,即b=（1，1），所以cos θ=a·b|a||b|=310=31010，所以sin θ=1−cos2θ=1010.4.已知向量a=（1，-1），b=（1，2），向量c满足（c+b）⊥a，（c-a）∥b，则c等于（　　）A.（2，1） B.（1，0） C.32,12 D.（0，-1）【答案】A【解析】设向量c=（x，y），则c+b=（x+1，y+2），c-a=（x-1，y+1），因为（c+b）⊥a，所以（c+b）·a=x+1-（y+2）=x-y-1=0，①因为（c-a）∥b，所以2（x-1）-（y+1）=0，即2x-y-3=0.②联立①②，解得x=2,y=1,所以c=（2，1）.5.已知角A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，向量p=（sin A，1），q=（1，-cos B），则p与q的夹角是（　　）A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定【答案】A【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以A+B>π2，即A>π2-B.又函数y=sin x在区间0,π2内单调递增，所以sin A>sinπ2-B=cos B，所以p·q=sin A-cos B>0，又由题意可知p与q不共线，所以p与q的夹角是锐角.6.已知向量a=（-1，x），b=（x+2，x），若|a+b|=|a-b|，则x=　　　　　. 【答案】-1或2【解析】已知向量a=（-1，x），b=（x+2，x），因为|a+b|=|a-b|，两边平方得到a·b=0，根据向量的坐标运算公式得x2-x-2=0，解得x=-1或x=2.7.已知a=（1，2），b=（-3，2），若ka+b与a-3b垂直，则实数k的值为　　　　　. 【答案】19【解析】由已知得ka+b=k（1，2）+（-3，2）=（k-3，2k+2），a-3b=（1，2）-3（-3，2）=（10，-4）.因为ka+b与a-3b垂直，所以（ka+b）·（a-3b）=0，即（k-3）·10+（2k+2）·（-4）=0，得k=19.8.如图，在2×4的方格纸中，若向量a，b的起点和终点均在格点上，则向量a+b，a-b的夹角的余弦值是　　　　　.【答案】-46565【解析】不妨设每个小正方形的边长为1，建立平面直角坐标系，如图所示，则a=（2，-1），b=（3，2），所以a+b=（5，1），a-b=（-1，-3），所以（a+b）·（a-b）=-5-3=-8，|a+b|=26，|a-b|=10，所以向量a+b，a-b的夹角余弦值为-826×10=-46565.9.已知平面向量a=（1，x），b=（2x+3，-x）（x∈R）.　（1）若a⊥b，求x的值;（2）若a∥b，求|a-b|.解：（1）∵a⊥b，∴a·b=0，即2x+3+x（-x）=0，解得x=-1或x=3.（2）∵a∥b，∴-x-x（2x+3）=0，解得x=0或x=-2.当x=0时，a=（1，0），b=（3，0），∴a-b=（-2，0），∴|a-b|=2;当x=-2时，a=（1，-2），b=（-1，2），∴a-b=（2，-4），∴|a-b|=25.综上所述，|a-b|=2或25.10.在△ABC中，AB=（2，3），AC=（1，k），若△ABC是直角三角形，求k的值.解：∵AB=（2，3），AC=（1，k），∴BC=AC−AB=（-1，k-3）.若∠A=90°，则AB·AC=2×1+3k=0，解得k=-23;若∠B=90°，则AB·BC=2×（-1）+3（k-3）=0，解得k=113;若∠C=90°，则AC·BC=1×（-1）+k（k-3）=0，解得k=3±132.综上，k的值为-23或113或3±132.1.已知点P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是（　　）A.（-2，6） B.（-6，2） C.（-2，4） D.（-4，6）【答案】A【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AE所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，易知A（0，0），B（2，0），F（-1，3），C（3，3）.设P（x，y），则AP=（x，y），AB=（2，0），∴AP·AB=2x.∵-1=OP·OQ|OP||OQ|=5x55|x|.当x>0时，cos=55;当x<0时，cos=-55.5.已知平面向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），若|a|=2，|b|=3，a·b=-6，则向量a与b的夹角为　　　　　，x1+y1x2+y2的值为　　　　　.【答案】180°　-23【解析】设a，b的夹角为θ，则a·b=|a||b|cos θ=6cos θ=-6，故cos θ=-1，又0°≤θ≤180°，∴θ=180°，即a，b共线且反向，∴a=-23b，∴x1=-23x2，y1=-23y2，∴x1+y1x2+y2=-23.6.已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为　　　　　. 【答案】5【解析】如图，以D为原点，线段DA，DC所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设DC=a，DP=x，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），P（0，x）（0≤x≤a），则PA+3PB=（2，-x）+3（1，a-x）=（5，3a-4x），所以|PA+3PB|=25+(3a-4x)2≥5.7.设平面向量a=（cos α，sin α）（α∈[0，2π）），b=-12,32，且a与b不共线.（1）求证:向量a+b与a-b垂直;（2）若两个向量3a+b与a-3b的模相等，求角α.（1）证明：由题意知，a+b= cos α−12,sin α+32，a-b= cos α+12,sin α−32.因为（a+b）·（a-b）=cos2α-14+sin2α-34=0，所以向量a+b与a-b垂直.（2）解：|a|=1，|b|=1，由题意知，（3a+b）2=（a-3b）2，化简得a·b=0，即-12cos α+32sin α=0，整理可得tan α=33.又因为α∈[0，2π），所以α=π6或α=7π6.8.已知三个点A（2，1），B（3，2），D（-1，4）.（1）求证:AB⊥AD;（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值.（1）证明：∵A（2，1），B（3，2），D（-1，4），∴AB=（1，1），AD=（-3，3）.又AB·AD=1×（-3）+1×3=0，∴AB⊥AD，即AB⊥AD.（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=DC.设C点坐标为（x，y），∵A（2，1），B（3，2），D（-1，4），∴AB=（1，1），DC=（x+1，y-4），∴x+1=1,y-4=1,解得x=0,y=5,∴点C的坐标为（0，5）.∵AC=（-2，4），BD=（-4，2），∴AC·BD=8+8=16，|AC|=25，|BD|=25.设AC与BD的夹角为θ，则cos θ=AC·BD|AC||BD|=1620=45，∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.