数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示免费课时练习

6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示

6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

基础过关练

题组一　平面向量的正交分解及坐标表示

1.已知=(-2,4),则下面说法正确的是(　　)　　　　　 　　　　　 　　　　　

A.A点的坐标是(-2,4)

B.B点的坐标是(-2,4)

C.当B点是原点时,A点的坐标是(-2,4)

D.当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4)

2.(2020山东威海文登高一下期中)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　)

A.(3,4),(2,-2)  B.(2,3),(-2,-3)

C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)

3.如果用i,j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量,且A(2,3),B(4,2),则可以表示为(　　)

A.2i+3j B.4i+2j C.2i-j D.-2i+j

4.在平面直角坐标系中,|a|=2 020,a与x轴正半轴的夹角为,则向量a=　　　　. 

题组二　平面向量的加、减运算的坐标表示

5.(2020辽宁沈阳高一上期末)已知向量a=(2,1),b=(-4,-2),则a+b=(　　)

A.(-2,-1) B.(2,1) C.(3,-1) D.(-3,1)

6.已知点A(1,0),B(3,2),向量=(2,1),则向量=(　　)

A.(0,-1) B.(1,-1) C.(1,0) D.(-1,0)

7.若向量a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,且A(1,3),B(2,4),则x的值为(　　)

A.1 B.1或4 C.0 D.-4

8.在平行四边形ABCD中,=(2,4),=(1,3),则的坐标为　　　　. 

题组三　平面向量数乘运算的坐标表示

9.(2020四川成都七中高一月考)在平面直角坐标系中,向量a=(2,-1),b=(1,3),则2a+b=(　　)

A.(3,2) B.(5,1) C.(4,5) D.(3,-5)

10.(2020重庆一中高一下月考)已知a=(5,-2),b=(-4,-3),c=(x,y),若a-2b+3c=0,则c=(　　)

A. B.

C. D.

11.(多选)已知向量e1=(-1,2),e2=(2,1),若向量a=λ1e1+λ2e2,则使λ1λ2<0成立的a可能是(　　)

A.(1,0) B.(0,1) C.(-1,0) D.(0,-1)

12.(2020辽宁铁岭高一上期末)已知点A(-1,2),B(2,8),=,=-,求点C,点D和向量的坐标.

题组四　平面向量共线的坐标表示

13.(2020陕西汉中龙岗中学高一上期末)已知向量a=与非零向量b=(x2,2x)共线,则实数x的值为(　　)

A.-3 B.-3或0 C.0 D.3

14.(2020安徽滁州九校高一上期末联考)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若(a+λb)∥c,则实数λ=(　　)

A.2 B.1 C. D.

15.下列各组向量中,可以作为基底的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,-2)

B.e1=(-1,2),e2=(5,7)

C.e1=(3,5),e2=(6,10)

D.e1=(2,-3),e2=(4,-6)

16.(2020浙江温州高一上期末)已知向量a=(2,1),b=(-1,3),c=(x,y).

(1)若a+b+c=0,求实数x,y的值;

(2)若非零向量c与a-b共线,求的值.

能力提升练 　　　　　

题组一　平面向量加、减以及数乘运算的坐标表示及应用

1.(2020北京首师大附中高一上期末,)如图,正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ-μ的值为(　　)

A.3 B.2 C.1 D.-3

2.(2020广西百色高一上期末,)如图,已知A(-3,0),B(0,2),O为坐标原点,点C在第二象限内,且∠AOC=45°,设=λ+(1-λ)(λ∈R),则λ的值为(　　)

A. B. C. D.

3.()已知集合M={a|a=(1,2)+λ1(3,4),λ1∈R},N={a|a=(-2,-2)+λ2(4,5),λ2∈R},则M∩N等于(　　)

A.{(1,2)} B.{(1,2),(-2,-2)}

C.{(-2,-2)} D.⌀

4.(2020重庆北碚实验中学高一上期末,)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=　　　　. 

5.()设向量a=(λ+2,λ2-cos2θ),b=,其中λ,μ,θ∈R.若a=2b,则的最小值为　　　　. 

题组二　平面向量共线的坐标表示

6.(2020湖北部分重点中学高三上期末,)设向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O为坐标原点,a>0,b>0,若A,B,C三点共线,则+的最小值为(　　)

A.4 B.6 C.8 D.9

7.(2020山东泰安第二中学高一下期中,)(1)若a=(2cos α,1),b=(sin α-,-1),且a∥b,求tan α;

(2)已知O为坐标原点,点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.

8.()已知A,B,C的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos α,sin α),α∈(0,π).

(1)若A,B,C三点共线,求角α的值;

(2)若D(s,t),且四边形ABCD为平行四边形,求s+t的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.D　由平面向量的坐标表示方法可知,当A点是原点时,B点的坐标是(-2,4).

2.C　根据直角坐标系,可知a=2e2+3e1,b=2e2-2e1,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.

3.C　记O为坐标原点,则=2i+3j,=4i+2j,所以=-=2i-j.

4.答案　(1 010,±1 010)

解析　设a=(x,y),则x=2 020cos =1 010,|y|=2 020sin =1 010,

故a=(1 010,±1 010).

5.A　∵a=(2,1),b=(-4,-2),

∴a+b=(-2,-1),故选A.

6.A　∵A(1,0),B(3,2),∴=(2,2).

∵=(2,1),∴=-=(0,-1),故选A.

7.A　由已知得,=(2-1,4-3)=(1,1),

∵a=(2x-1,x2+3x-3)与相等,

∴解得x=1,故选A.

8.答案　(-3,-5)

解析　由题意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),∴=-=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).

9.B　∵a=(2,-1),b=(1,3),

∴2a+b=2(2,-1)+(1,3)=(5,1).故选B.

10.D　a-2b+3c=(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(13+3x,4+3y)=0,

所以解得

即c=-,-.

11.AC　设a=(x,y).

∵a=λ1e1+λ2e2,

∴(x,y)=λ1(-1,2)+λ2(2,1),

∴解得

对于A选项,λ1=-,λ2=,λ1λ2<0,A符合;

对于B选项,λ1=,λ2=,λ1λ2>0,B不符合;

对于C选项,λ1=,λ2=-,λ1λ2<0,C符合;

对于D选项,λ1=-,λ2=-,λ1λ2>0,D不符合.

故选AC.

12.解析　设C=(x1,y1),D=(x2,y2).

∵A(-1,2),B(2,8),

∴=(x1+1,y1-2),=(-1-x2,2-y2),=(3,6).

∵=,

∴(x1+1,y1-2)=(3,6)=(1,2),

∴∴

∴C点坐标为(0,4).

∵=-=,

∴(-1-x2,2-y2)=(3,6)=(1,2),

∴∴

∴D点坐标为(-2,0).

∴=(-2,-4).

13.A　∵向量a=与非零向量b=(x2,2x)共线,

∴2x-x2=0,即x2+3x=0,

解得x=-3或x=0(舍去),

∴实数x的值为-3.

14.C　由题意得,a+λb=(1+λ,2)和c=(3,4)平行,故(1+λ)·4-2×3=0,解得λ=.故选C.

15.B　对于A,∵e1=(0,0)与e2=(1,-2)共线,∴A不符合;

对于B,∵e1=(-1,2),e2=(5,7),

∴-1×7-2×5≠0,

∴向量e1与e2不共线,∴B符合;

对于C,∵e1=(3,5),e2=(6,10),∴3×10-5×6=0,∴向量e1∥e2,∴C不符合;

对于D,∵e1=(2,-3),e2=(4,-6),

∴2×(-6)-(-3)×4=0,

∴向量e1∥e2,∴D不符合.

16.解析　(1)由题意可知c=-(a+b),

∴c=-(1,4)=(-1,-4),

即x=-1,y=-4.

(2)由题意得a-b=(3,-2),

∵c∥(a-b),∴-2x-3y=0,

即=-.

能力提升练

1.D　如图,建立平面直角坐标系.

设AB=2,则A(0,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2),

∴=(0,2),=(2,2),=(1,2),

∵=λ+μ,

∴(0,2)=λ(2,2)+μ(1,2),

∴∴

∴λ-μ=-3,故选D.

2.C　∵A(-3,0),B(0,2),∴=λ+(1-λ)=(-3λ,2-2λ),∴C(-3λ,2-2λ).

又∵∠AOC=45°,点C在第二象限内,

∴2-2λ=3λ,∴λ=.

3.C　令(1,2)+λ1(3,4)=(-2,-2)+λ2(4,5),

即(1+3λ1,2+4λ1)=(-2+4λ2,-2+5λ2),

∴解得

故M与N只有一个公共元素(-2,-2),即M∩N={(-2,-2)}.

4.答案　3

解析　如图所示,建立平面直角坐标系.

由题得A(1,0),=(1,0).

∵与的夹角为α,且tan α=7,

∴cos α=,sin α=,

又∵||=,∴C,即=.

∵cos(α+45°)=(cos α-sin α)=-,

sin(α+45°)=(sin α+cos α)=,

∴B,即=.

∵=m+n(m,n∈R),

∴解得∴m+n=3.

5.答案　-6

解析　∵a=2b,

∴消去λ,得4μ2-9μ+4=cos2θ+2sin θ=-sin2θ+2sin θ+1=

-(sin θ-1)2+2,又-2≤-(sin θ-1)2+2≤2,∴-2≤4μ2-9μ+4≤2,解得≤μ≤2,∴≤≤4,

∴-8≤-≤-1.又λ=2μ-2,∴=2-,则-6≤≤1,故的最小值为-6.

6.C　∵=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),

∴=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).

∵A,B,C三点共线,∴与为共线向量,

∴2(a-1)-(-b-1)=0,即2a+b=1.

∵a>0,b>0,

∴+=(2a+b)

=2+2++≥4+2=8,

当且仅当=,即a=,b=时取等号,故+的最小值为8,故选C.

7.解析　(1)∵a∥b,∴-2cos α-(sin α-)=0,∴sin α+2cos α=,

∴sin2α+4sin αcos α+4cos2α=5,

∵sin2α+cos2α=1,

∴=5,

∴=5,

即4tan2α-4tan α+1=0,

∴(2tan α-1)2=0,∴tan α=.

(2)解法一:由O,P,B三点共线,可设=λ=(4λ,4λ),λ∈(0,1),则=-=(4λ-4,4λ),=-=(-2,6).

由与共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以==(3,3),所以点P的坐标为(3,3).

解法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.

又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).

8.解析　(1)∵A,B,C三点共线,∴∥.

又=(-1,1),=(cos α,sin α),

∴-sin α-cos α=0,即tan α=-1,

∵α∈(0,π),∴α=.

(2)∵四边形ABCD为平行四边形,

∴=,

又∵=(-1,1),=(cos α-s,sin α-t),

∴cos α-s=-1,sin α-t=1,

∴s=cos α+1,t=sin α-1,

∴s+t=sin α+cos α=sin.

∵α∈(0,π),∴α+∈,

∴sin∈,

∴sin∈(-1,],

即s+t的取值范围是(-1,].