高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步练习题

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示  同步练习

一．选择题

1. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知两不共线的向量，，则下列说法一定正确的是   

A. 与的夹角为 B. 的最大值为1
C.  D.

3. 已知，，，若点D满足，且，则点D的坐标是

A.  B.  C.  D.

4. 已知向量，，，若，则

A.  B.  C.  D. 2

5. 已知向量，若，则实数x的值为

A.  B.  C.  D. 2

6. 已知，，，则向量在向量方向上的投影向量的模是  

A. 4 B.  C.  D.

7. 已知向量，，，若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则的面积为  

A. 1 B. 2 C.  D.

8. 已知平面向量，，若，则等于

A.  B.  C. 8 D.

9. 已知的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点且，则与的夹角的余弦值为

1.          B.        C. 或        D. 或

二．填空题

10. 若向量，，且，则 ______ ．
11. 已知向量，，且，则向量与的夹角为_______．
12. 在中，G是的重心，边AB，AC的长分别为2，1，，则____________．
13. 如图，已知半圆O的直径，点P是弦包含端点A，上的动点，点Q在弧BC上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为_______．
14. 已知与，要使最小，则实数t的值为   ．

三．解答题

15. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
    若，且与相反，求的坐标；
    若，且与垂直，求与的夹角
    
    
    
    
    
     

16. 已知向量，．

设向量，试用向量与表示；

设t是实数，向量，与的夹角为，与的夹角为，若，求t的值．



 

17. 在平面直角坐标系xoy，O为坐标原点，，，，C为平面内一点，且满足，设四边形OACB的面积为S，

Ⅰ若，求的值

Ⅱ记，求的取值范围．

答案和解析

一．选择题

1.【答案】A

【解析】

【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围，已知三角函数值求角．根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即可求出的值，根据的范围便可得出的值．
【解答】
解：，；
；
又；
．
故选A．
2.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的综合知识，考查平面向量积的运算用于判别向量间的关系．属于基础题．
求与满足的关系，先利用平面向量积的公式，判断与是否有垂直或者平行的关系，再判断各个选项中的关系是否满足．
【解答】
解：，，，，与不共线，    ，则Z
对于A选项，由题意知，与的夹角的范围为，而R且Z，故A选项错误；对于B选项，，，不共线，，故B选项错误；
对于C选项，与不共线，由向量模的三角不等式可得，故C选项错误；
对于D选项，，，故D选项正确．
故选D．
3.【答案】D

【解析】

【分析】
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
设，根据，且，通过向量的平行以及垂直，建立方程组，解得x，y的值，即可得到答案．
【解答】
解：设，则，，，．
由题意可得解得
所以点D的坐标为．
故选D．
4.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查平面向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算．
可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出．

【解答】

解：；
又；
；
解得．
故选：C．

5.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
将等式两边平方，运用向量的平方即为模的平方，结合向量的数量积的坐标表示，解x的方程，即可解出实数x的值． 
【解答】
解：若 ，
则， 
即， 
即，
由向量，，
则， ，即，
解得 
故选C
6.【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查投影向量的模，是基础题．
利用向量的坐标运算求解即可．
【解答】
解：因为，，，
所以，，，
所以向量在向量方向上的投影向量的模为，
故选C．
7.【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查向量的数量积，以及向量的模，考查化简运算能力，属于基础题．
由等腰直角三角形的性质，可得，且，应用向量的平方即为模的平方，以及向量模的公式，可得，再由等腰直角三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】
解：由是以O为直角顶点的等腰直角三角形，
可得，且，
由已知条件可得，，
化为，，
即，且，即，
可得，
则的面积为．
故选：B．
8.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算和向量的模的求法．要求能熟练应用向量的坐标运算法则．属简单题．
先由向量的坐标求出向量的坐标，再根据求模公式即可得解．

【解答】解：向量，
故选D．
9.【答案】C

【解析】解：由题意可得，
又，
的终边与单位圆的交点为或
可取或
当时，由夹角公式可得与的夹角的余弦值；
当时，由夹角公式可得与的夹角的余弦值；
故选：C．
由题意可得，由三角函数定义和向量的关系可得或，由夹角公式可求．
本题考查数量积与向量的夹角，涉及三角函数的运算和分类思想，属中档题．

二．填空题
10.【答案】5

【解析】解：向量，，且，
，
解得，；
，
，
．
故答案为：5．
先根据向量相等求出的坐标，再求出以及它的模长．
本题考查了平面向量的应用问题，解题时应用向量数量积求模长，是计算题．
11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查向量的夹角、向量的数量积，属于基础题．
求出t的值，代入夹角公式，即可求出结果．
【解答】
解：因为，，且，
所以，解得，
则，
故，
又，
故．
故答案为．
12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平面向量的数量积关键是平面向量的基本定理的应用．
【解答】
解：设D，E是BC，AC的中点，
所以，
，
所以
．
故答案为．
13.【答案】8

【解析】

【分析】
本题考查了向量的数量积、向量的投影、向量的几何运用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
由题意得，结合向量数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，代入可求．
【解答】
解：半圆O的直径，是等边三角形，且边长为4，
由题意可得，
，
由数量积的几何意义可知，当P与C重合时，在上的投影最短，
此时．
故答案为8．
14.【答案】

【解析】

【分析】本题考查平面向量的坐标运算，向量的模，函数的最值，属于基础题．
由向量的模的坐标运算，可得，根据二次函数的性质求出有最小值时t的值．
【解答】

解：，
．
当时，有最小值．

三．解答题
15.【答案】解：设，由，且，与相反，
，
解得，
；
若，且与垂直，
则，
，
，
且，
与的夹角为．
 

【解析】设，根据题意列方程组求出的坐标；
根据与垂直列方程求出的值，再计算与的夹角．
本题考查了平面向量的共线定理与数量积应用问题，是中档题．
16.【答案】解：设，
，
，解得，
；
根据题意，，，且，
，
，解得．
 

【解析】本题考查了向量坐标的加法和数乘运算，相等向量的坐标关系，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
可设，代入向量的坐标即可得出，然后解出，即可；
根据题意即可得出，从而可得出，解出t即可．
17.【答案】解：由已知条件，
因为，所以，即，
，
又因为，所以
可得；
，
由，可知四边形OACB为平行四边形，
则，
所以，
，当时，，
即．

【解析】本题考查的是平面向量的坐标运算，数量积，辅助角公式，正弦型函数的性质，属于基础题．
由，所以，即，即可得出的值
由，可知四边形OACB为平行四边形，则，所以，即可得出的取值范围．