苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算精品课件ppt

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册9.2 向量运算精品课件ppt，共54页。PPT课件主要包含了必备知识·自主学习，cosθe，cosθ，a·b0，-ab，b·a，a·λb，a·c+b·c，关键能力·合作学习，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.向量的数量积(1)定义:
(2)本质:数量积是两个向量之间的一种运算,其运算结果是一个数量,其大小与两个向量的长度及其夹角都有关,符号由夹角的余弦值的符号决定.(3)应用:①求向量的夹角;②研究向量的垂直问题;③求向量的模.
2.投影与投影向量(1)变换:
(2)结论:称上述变换为向量a向向量b投影,_____叫作向量a在向量b上的投影向量.(3)计算:设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为__________. 
3.向量数量积的性质(1)条件:设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.(2)性质:①a·e=e·a= ________. ②a⊥b⇔_______.③当a与b同向时,a·b= _______;当a与b反向时,a·b= ________.特别地,a·a= ____或____= .④|a·b|≤_______.
4.向量数量积的运算律(1)a·b=_____.(2)(λa)·b=λ(a·b)=_________.(3)(a+b)·c=_________.
【思考】(1)对于向量a,b,c,等式(a·b)·c=a·(b·c)一定成立吗?提示:不一定成立,因为若(a·b)·c≠0,其方向与c相同或相反,而a·(b·c)≠0时其方向与a相同或相反,而a与c方向不一定相同,故该等式不一定成立.
(2)若a·b=a·c(a≠0),则b=c一定成立吗?提示:不一定成立.在向量数量积的运算中,若a·b=a·c(a≠0),则a·(b-c)=0(a≠0),于是有b=c或a⊥(b-c).因此,由a·b=a·c(a≠0)不一定能得到b=c.
【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)向量a,b的数量积也可记作ab或a×b.(　　)(2)对于向量a,b,若a·b=0,则a=0或b=0.(　　)(3)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角.(　　)(4)向量a在b上的投影向量是一个模等于|acs θ|(θ是a与b的夹角),且与b共线的一个向量.(　　)
提示:(1)×.向量a,b的数量积记作a·b.(2)×.a·b=0,还可能有a⊥b.(3)×.当向量a与b同向时,a·b>0,但是此时a和b的夹角为0°,不是锐角.(4)√.由投影向量的概念可知此说法正确.
2.(教材二次开发:练习改编)若向量a,b满足|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为30°,则a·b等于(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C.2 D.3 【解析】选D.当a与b的夹角为30°时,a·b=|a||b|cs 30°=3×2× =3 .
3.已知e为一单位向量,a与e之间的夹角是120°,而a在e方向上的投影向量的模为2,则|a|=________. 【解析】因为||a|·cs 120°e|=2,所以 |a|=2,所以|a|=4.答案:4
类型一　向量数量积和投影向量(数学运算)【题组训练】1.(2020·昆明高一检测)在△ABC中,∠A=60°, 则 的值为(　　)A.-1B.- C. D.1
2.已知等边△ABC的边长为2,则向量 在向量 方向上的投影向量为(　　)A.- B. C.2 D.2 3.已知向量a与b的夹角θ为120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)a·b;(2)(a+b)·(a-2b).
【解析】1.选A.因为在△ABC中,∠A=60°,所以 与 的夹角为120°,由数量积的定义可得2.选A.在等边△ABC中,因为∠A=60°,所以向量 在向量 方向上的投影向量为 ,所以向量 在向量 方向上的投影向量为- .
3.(1)由已知得a·b=|a||b|cs θ=4×2×cs 120°=-4.(2)(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.
【解题策略】1.向量数量积的求法(1)求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及两个向量的夹角,其中准确求出两个向量的夹角是求数量积的关键.(2)根据数量积的运算律,向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算.
2.求投影向量的方法(1)依据投影的定义和平面几何知识作出恰当的垂线,直接得到投影向量.(2)首先根据题意确定向量a的模,与b同向的单位向量e,及两向量a与b的夹角θ,然后依据公式 csθe计算.
【补偿训练】1.若|a|=2,|b|=3,a与b的夹角θ=120°,则a·(a-b)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　A.1B.-1C.7D.-7【解析】选C.a·(a-b)=a2-a·b=4-2×3× =7.
2.已知|a|=3,|b|=5,且a与b的夹角θ为45°,则向量a在向量b上的投影为________. 【解析】由已知得向量a在向量b上的投影|a|cs θ=3× = .答案:
类型二　向量的模(数学运算)【典例】如图,在△ABC中, ,E是AD的中点,设 =a, =b.(1)试用a,b表示 ;(2)若|a|=1,|b|=1,且a与b的夹角为60°,求 .
【解题策略】1.求向量的模的依据和基本策略(1)依据:a·a=a2=|a|2或|a|= ,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.(2)基本策略:求模问题一般转化为求模的平方,与向量数量积联系,并灵活应用a2=|a|2,勿忘记开方.2.拓展公式(1)(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2.(2)(a+b)·(a-b)=|a|2 -|b|2.
【跟踪训练】1.(2020·临沂高一检测)已知向量a,b满足|b|=5,|2a+b|=5 ,|a-b|=5 ,则|a|=________. 【解析】由已知有 将b2=|b|2=25代入方程组,解得|a|= .答案:
2.已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角θ为 ,求|a+b|,|a-b|.【解析】因为|a|=|b|=5,夹角θ= ,所以 |a+b|2=a2+2a·b+b2=52+2×5×5×cs +52=75,|a-b|2=a2-2a·b+b2=52-2×5×5×cs +52=25,所以|a+b|=5 ,|a-b|=5.
【拓展延伸】关于向量模的最值问题解答此类问题通常分以下两步(1)依据数量积及其运算性质,建立所求量关于某个变量的函数;(2)利用有关函数的图象和性质求最值.
【拓展训练】已知 与 的夹角为60°, 若λ+ μ=2,则 的最小值为________. 
【解析】所以最小值为12,所以 的最小值为2 .答案:2
类型三　向量夹角与垂直问题(数学运算、逻辑推理)　角度1　两向量夹角问题 【典例】已知|a|=1,a·b= ,(a+b)·(a-b)= .(1)求|b|的值;(2)求向量a-b与a+b夹角的余弦值.【思路导引】(1)利用|a|2=a2,|b|2=b2和数量积的运算律求值;(2)根据数量积定义可得两个向量夹角余弦值的计算方法.
【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2= .因为|a|=1,所以1-|b|2= ,所以|b|= .(2)因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2× + =2,|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2× + =1,所以|a+b|= ,|a-b|=1.令a+b与a-b的夹角为θ,则cs θ=即向量a-b与a+b夹角的余弦值是 .
【变式探究】本例的条件改为“|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°”,试求a+b与a-b的夹角的余弦值.【解析】设a+b,a-b的夹角为θ,因为|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为45°,所以a·b=1×2×cs 45°= ,
　角度2　两向量垂直问题 【典例】(2020·嘉兴高一检测)已知向量a,b的夹角为 π,|a|=1,|b|=2.(1)求a·b的值;(2)若2a-b和ta+b垂直,求实数t的值.【思路导引】(1)依据数量积的定义求值;(2)依据(2a-b)·(ta+b)=0求t.
【解析】(1)a·b= cs =1×2× =-1;(2)因为2a-b和ta+b垂直,所以(2a-b)·(ta+b)=0,即2ta2+ a·b-b2=0,所以2t-(2-t)-4=0,所以t=2.
【解题策略】1.求向量夹角的基本步骤
2.向量垂直问题的处理思路解决与垂直相关题目的依据是a⊥b⇔a·b=0,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.
【题组训练】1.(2020·济宁高一检测)已知e1,e2是单位向量,若|e1-4e2|= ,则e1与e2的夹角为(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.30°B.60°C.90°D.120°
【解析】选B.因为|e1-4e2|= ,所以(e1-4e2)2=13,即 -8e1·e2+16 =13.又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13,所以e1·e2= .设e1与e2的夹角为θ,则cs θ= 又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.已知非零向量a,b满足2|a|=3|b|,|a-2b|=|a+b|,则a与b的夹角θ的余弦值为(　　)A. B. C. D.
【解析】选C.|a-2b|=|a+b|⇒(a-2b)2=(a+b)2⇒a·b= b2⇒cs θ
3.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b与λa-b垂直,则λ等于(　　)A. B.- C.± D.1【解析】选A.因为(3a+2b)·(λa-b)=3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=3λa2-2b2=12λ-18=0.所以λ= .
【补偿训练】已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).
【证明】因为|2a+b|=|a+2b|,所以(2a+b)2=(a+2b)2,即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,所以a2=b2.所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,所以(a+b)⊥(a-b).
1.已知向量a和b满足a·b=-12 ,|a|=4,a和b的夹角为135°,则|b|为(　　) 　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.12B.3C.6D.3 【解析】选C.因为a·b=|a||b|cs 135°=-2 |b|=-12 ,所以|b|=6.
2.已知正方形ABCD的边长为2,则 =(　　)A.2 B.3C.4D.3
【解析】选C.因为四边形ABCD 为正方形,所以
3.已知向量a,b满足a⊥b,|a|=1,|b|=1,则|a-2b|=________. 【解析】因为a⊥b,所以a·b=0,所以|a-2b|2=a2-4a·b+4b2=5,所以|a-2b|= .答案:
4.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为____. 【解析】设a与b的夹角为θ,依题意有(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-7+2cs θ=-6,所以cs θ= ,因为0≤θ≤π,故θ= .答案:
5.(教材二次开发:练习改编)已知 =3,e为单位向量,当向量a,e的夹角θ分别等于60°,90°,120°时,求向量a在向量e上的投影向量.