初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质第3课时综合训练题

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【1】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（ ）
A．因为，所以抛物线开口向上B．当时，函数有最大值1
C．当时，函数随的增大而增大D．抛物线的顶点坐标是
【2】抛物线的顶点在（ ）
A．轴上B．轴上C．第三象限D．第四象限
【3】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
能力进阶：
【1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【2】若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【3】如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
巅峰突破：
【1】已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．
(1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；
(2)若．
①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；
②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．
第3课时 y=a(x−h)²+k的图象性质分层练习参考答案与解析
基础夯实：
【1】下列关于二次函数的图象性质说法不正确的是（ ）
A．因为，所以抛物线开口向上B．当时，函数有最大值1
C．当时，函数随的增大而增大D．抛物线的顶点坐标是
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；根据二次函数性质，时开口向上，顶点为最小值点；对称轴为直线，当时函数递增；顶点坐标可直接由解析式得出，然后问题可求解．
【详解】解：∵二次函数，，
∴抛物线开口向上，A正确；
当时，，因为，顶点为最小值点，故B错误；
对称轴为直线，，当时，y随x增大而增大，C正确；
顶点坐标为，D正确；
故选B．
【2】抛物线的顶点在（ ）
A．轴上B．轴上C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的顶点式，根据顶点式直接写出顶点坐标，判断其位置．
【详解】解：顶点坐标为，在轴上，
故选：A．
【3】对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线；③顶点坐标为；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数图象与性质，根据二次函数顶点式的性质，确定开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性即可．
【详解】解：∵抛物线为，
∴，，.
①∵，∴开口向下，正确；
②对称轴为直线，正确；
③顶点坐标为，即，正确；
④∵，开口向下，∴当时，随增大而减小，正确.
∴所有结论均正确，共4个.
故选：D．
能力进阶：
【1】在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移6个单位后所得到的抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题利用二次函数图像平移的“左加右减，上加下减”法则，先得到平移后的抛物线解析式，再求出顶点坐标即可．
【详解】解：∵原抛物线解析式为 ，根据平移法则，向左平移2个单位，再向上平移6个单位，
∴新抛物线解析式为，
整理得 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为．
【2】若二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的开口方向与对称轴，结合增减性确定对称轴的位置．
先判断二次函数的开口方向，确定其增减性与对称轴的关系；再根据“时随
增大而减小”的条件，得出对称轴与的位置关系，进而求出的取值范围．
【详解】解：二次函数，其二次项系数，故抛物线开口向上．
∵开口向上的二次函数，在对称轴左侧随的增大而减小，且该函数的对称轴为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴对称轴需满足．
故选：C．
【3】如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】(1)
(2)顶点为，对称轴为直线
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是正确求出函数解析式．
（1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案；
（2）先将一般式化为顶点式，即可求解对称轴和顶点坐标．
【详解】（1）解：抛物线过、，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴顶点为，对称轴为直线．
巅峰突破：
【1】已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点．
(1)当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________；
(2)若．
①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值；
②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值．
【答案】(1)
(2)①1；1
【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可；
（2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解；
②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为，可求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为，然后根据进行求解．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，
∴该抛物线顶点P的坐标为；
（2）解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E．
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴P点坐标为，
∵P为抛物线的顶点，
∴P点坐标为，
∴，
∴M点坐标为，
将，代入，得：
，
解得：，
∴c的值为1；
②∵，
∴当取得最小值时，的值最小．
由①知，抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴抛物线的解析式为，
∴C点坐标为，顶点P坐标为，
∵，
∴，
如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．
在中，，
∴，
∴当C，D，Q三点共线，且时，取得最小值，即取得最小值，
在中，，
∴，即，
过点C作交x轴于F，
∴，
在中，，即，
∴，即F点坐标为，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴．