数学九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质第2课时精练

这是一份数学九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质第2课时精练，共2页。
【1】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．图象形状相同D．最低点相同
【2】根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
【3】给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
能力进阶：
【1】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值．
巅峰突破：
【1】如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________
第2课时 y=ax2的图象性质分层练习参考答案与解析
基础夯实：
【1】关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．图象形状相同D．最低点相同
【答案】C
【分析】本题考查了y=ax2的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据y=ax2的性质求解即可．
【详解】解：函数，，都是形式，
二次函数，
顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为，
但a值分别为，1，2，不相等，
∴图象开口大小不同，形状不同，
故选：C．
【2】根据函数图象填空：
（1）抛物线的对称轴是________，顶点坐标是________，当x________时，抛物线上的点都在x轴的上方；
（2）抛物线的开口向________，除顶点外，抛物线上的点都在x轴的________方，它的顶点是抛物线上的最________点．
【答案】 轴（或直线） 下 下 高
【分析】本题考查形如的二次函数的图象性质．根据二次项系数的符号判断开口方向．结合函数性质即可求解各空．
【详解】（1）抛物线属于型二次函数．
根据二次函数性质，其对称轴是轴，即直线．顶点坐标是．
．则抛物线开口向上．且．
仅当时．
当时．．抛物线上的点都在轴上方．
（2）抛物线中．
．根据二次函数性质，抛物线开口向下．
．
仅当，即顶点处时．
除顶点外，抛物线上的点都满足，都在轴的下方．开口向下的抛物线，顶点是抛物线上的最高点．
【3】给出下列函数： ①， ②， ③， ④，其中符合条件“当时，函数值随自变量增大而增大”的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】C
【分析】本题根据一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，逐个判断各函数在时的增减性即可得到答案.
【详解】解：①对于，是一次函数，，随增大而增大，当时符合条件；
②对于，是一次函数，，随增大而减小，不符合条件；
③对于，是反比例函数，，时随增大而减小，当时不符合条件；
④对于，是二次函数，开口向上，对称轴为，时随增大而增大，故当时符合条件；
因此符合条件的是①④，故选C.
能力进阶：
【1】二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为轴，
∴当时，随的增大而增大，
∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧，
∴．
【2】如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点．
(1)求直线的函数解析式；
(2)在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值．
【答案】(1)
(2)，的最小值为
【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值．
【详解】（1）解：将代入得：，
∴，
将代入得：，
∴，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的函数解析式为．
（2）解：将代入得：，
∴，
如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，
由轴对称的性质得：，
∴，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为，
∴与轴的交点即为所求，
设直线的函数解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的函数解析式为，
将代入得：，解得，
∴此时点的坐标为，
综上，此时点的坐标为，的最小值为．
巅峰突破：
【1】如图，平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数，四边形为矩形，，在抛物线上，当，运动时，点也在另一个二次函数图像上运动．设，则关于x的函数表达式为________
【答案】
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，矩形的性质，中点公式，勾股定理，解题的关键是根据四边形是矩形列出关于m，n，x，y的方程组．
过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，设，，又，根据四边形是矩形，可得，即可解得．
【详解】解：如图，过A作轴于D，过B作轴于E，连接、，
∵，在抛物线上，
设，，
∵四边形是矩形，
∴与中点重合，，
而，
∴，
整理得
∴
整理得：，
解得：或，
又∵，
∴，
∴
∴，
当时，则（舍去）
当时，则，
故答案为：．