初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.2 降次 —— 解一元二次方程25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系精品复习练习题

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【1】秋一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A．2B．C．1D．
【2】已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【3】已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
能力进阶：
【1】已知关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．
【2】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．
巅峰突破：
【1】已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【2】阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程的两根，，则______，______；
(2)已知实数m，n满足，，求的值；
(3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值．
第5课时 一元二次方程方程的根与系数的关系分层练习答案与解析
基础夯实：
【1】秋一元二次方程的两根为、，则的值是（ ）
A．2B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的两根为、，则．
【2】已知，是一元二次方程的两个实数根，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】一元二次方程 ，若方程的两个实数根为 ，，则 ，．
【详解】解：∵ ，是一元二次方程的两个实数根．
∴ ，．
【3】已知关于的一元二次方程的两实数根分别为和，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再将所求式子利用完全平方公式变形后代入计算即可．
【详解】解：∵ 对于一元二次方程 ，若 是方程的两个实数根，则 ，，
已知方程为 ，
∴ ，，，
∴ ，，
又∵ ，
代入得：．
能力进阶：
【1】已知关于的方程．
(1)若方程总有两个实数根，求的取值范围；
(2)若与是该方程的两个实数根，且满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）根据方程有实数根得到，进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到关于m的方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个实数根，
∴，
即，
解得；
（2）解：∵与是该方程的两个实数根，
∴，
∵，
∴
解方程
得．
【2】已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果．
【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根
方程的根的判别式
即
解得 ，
由根与系数的关系可得：
，
代入得：
移项，系数化为1得：
，两个不等式解集的交集为．
巅峰突破：
【1】已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即，
∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，，即，
∴的取值范围为，
∴
∵，
∴原式随k的增大而减小，且，
∴当k取最大值时，原式取得最小值，即．
【2】阅读材料：
有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程、并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足，，且，则可将m，n看作方程的两个不相等的实数根．
方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足，，则可以将a，b看作方程的两个实数根．
根据上述材料解决下列问题：
(1)已知一元二次方程的两根，，则______，______；
(2)已知实数m，n满足，，求的值；
(3)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】（1）根据根与系数关系、，结合一元二次方程直接求解即可得到答案；
（2）当时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值；当时，易得原式；
（3）将、看作是方程的两实数根；利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值．
【详解】（1）解：一元二次方程的两根为，，
，；
（2）解：当时，
实数、满足，，
、可看作方程的两根，
，，
原式，
当时，则原式；
综上所述，原式的值为或2；
（3）解：，，
∴，，
将、看作是方程的两实数根，
，
又∵，即，
，
，即，
的最大值为1．