第25章一元二次方程单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册（有详解）

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第25章一元二次方程单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册姓名    班级    分数      选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）.1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）.A. 3x2+2x−1=0B. 5x2−6y−3=0C. ax2−x+2=0D. (a2+1)x2+bx+c=02.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根，则m的值是（ ）.A. −1B. 0C. 1D. 23.若关于x的一元二次方程m−1x2+5x+m2−1=0的常数项为0，则m的值为（ ）.A. 1B. −1C. ±1D. 04.用配方法解方程x2−6x−8=0时，配方结果正确的是（ ）.A. (x−3)2=17B. (x−3)2=14C. (x−6)2=44D. (x−3)2=15.一元二次方程(x+1)(x−1)=2x+3的根的情况是（ ）.A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的是（ ）.A. 80(1−x2)=60 B. 80(1−x)2=60C. 80(1−x)=60 D. 80(1−2x)=607.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？（ ）.A. 4B. 5C. 6D. 7  8.若关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k=6有实数根，则k的取值范围为（ ）.A. k≥0 B. k≥0且k≠2C. k≥32D. k≥32且k≠29.已知关于x的一元二次方程x2−kx+k−3=0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=5，则k的值是（ ）.A. −2B. 2C. −1D. 110.设m、n是方程x2+x−2012=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为（ ）.A. 2008B. 2009C. 2010D. 2011二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）.11.一元二次方程(x−3)(x−2)=0的根是        ．12.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+a2−1=0有一个根为x=0，则a=    ．13.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2−8x+12=0的解，则这个三角形的周长是      ．14.某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程       ．15.若实数a是一元二次方程x2−3x+1=0的一个根，则a3+24a2+1的值为      ．三、解答题：本题共8小题，共75分.16.(本小题12分)用适当的方法解下列方程：(1)2(x−1)2−92=0;  (2)x2−2x=4;(3)2x(x−3)=3−x;  (4)(3x−2)2=4x2−4x+1．17.(本小题8分)关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．18.(本小题9分)已知关于x的方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2(1)求实数m的取值范围；(2)若x1−x2=2，求实数m的值．19.(本小题9分)某地区2023年投入教育经费2500万元，2025年投入教育经费3025万元．(1)求2023年至2025年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2026年该地区将投入教育经费多少万元．20.(本小题9分)已知关于的一元二次方程x2−4x−2m+5=0有两个实数根．(1)求实数m的取值范围：(2)若x1、x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2=m2+6，求m的值．21.(本小题9分)今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？22.(本小题9分)已知关于x的一元二次方程x2−6x+(4m+1)=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1−x2|=4，求m的值．23.(本小题10分)如图，在△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，∠ABC=30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A、不是整式方程，不合题意；B、含有2个未知数，不合题意；C、当a=0时，不合题意；D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为2，二次项系数不为0的整式方程，符合题意．2.【答案】A 【解析】解：把x=1代入方程x2+mx=0得：1+m=0，解得：m=−1．故选A．3.【答案】B 【解析】略4.【答案】A 【解析】解：移项得x2−6x=8，配方得x2−6x+9=8+9，即(x−3)2=17．故选A．5.【答案】A 【解析】解：原方程可化为：x2−2x−4=0，∴a=1，b=−2，c=−4，∴△=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选A．6.【答案】B 【解析】解：根据题意得：80(1−x)2=60．故选B．利用现在生产1千克甲种药品的成本=两年前生产1千克甲种药品的成本×(1−甲种药品成本的年平均下降率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7.【答案】C 【解析】解：设共有x个班级参赛，根据题意得：x(x−1)2=15，解得：x1=6，x2=−5(不合题意，舍去)，则共有6个班级参赛．故选C．8.【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程(k−2)x2−2kx+k=6有实数根，∴k−2≠0(−2k)2−4(k−2)(k−6)≥0，解得k≥32且k≠2．9.【答案】D 【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−kx+k−3=0的两个实数根分别为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=k−3，∵x12+x22=5，∴(x1+x2)2−2x1x2=5，∴k2−2(k−3)=5，整理得出：k2−2k+1=0，解得：k1=k2=1，故选D．利用根与系数的关系得出x1+x2=k，x1x2=k−3，进而得出关于k的一元二次方程求出即可．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)根与系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca．10.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1·x2=ca，也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到m2+m−2012=0，变形得到m2+m=2012，则原式化简为2012+m+n，然后根据根与系数的关系求解．【解答】解：∵m是方程x2+x−2012=0的实数根，∴m2+m−2012=0，∴m2+m=2012，∴原式=2012+m+n∵m、n是方程x2+x−2012=0的两个实数根，∴m+n=−1，∴原式=2012−1=2011．故选D．11.【答案】x1=3，x2=2 【解析】解：由题意可得x−3=0或x−2=0，解得x1=3，x2=2．故答案为x1=3，x2=2．利用因式分解法的原理把方程化为x−3=0或x−2=0，然后解两个一次方程即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．12.【答案】−1 【解析】解：把x=0代入(a−1)x2−2x+a2−1=0，得：a2−1=0，解得a=±1，∵a−1≠0，∴a=−1．故答案为−1．根据一元二次方程的解的定义把x=0代入原方程得到关于a的一元二次方程，解得a=±1，然后根据一元二次方程的定义确定a的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．13.【答案】17 【解析】解：x2−8x+12=0，(x−2)(x−6)=0，解得：x1=2，x2=6，若x=2，即第三边为2，4+2=60，∴x=2± 202=2±2 52=1± 5．∴x1=1+ 5，x2=1− 5．(3)2x(x−3)+x−3=0，(x−3)(2x+1)=0，∴x−3=0或2x+1=0．∴x1=3，x2=−12．(4)原方程可化为(3x−2)2=(2x−1)2，∴3x−2=2x−1或3x−2=−2x+1．解得x1=1，x2=35．17.【答案】解：∵关于x的方程x2−2x+2m−1=0有实数根，∴b2−4ac=4−4(2m−1)≥0，解得m≤1，∵m为正整数，∴m=1，∴x2−2x+1=0，则(x−1)2=0，解得x1=x2=1． 【解析】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出m的值是解题关键．直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．18.【答案】解：(1)由题意得：Δ=(−2)2−4×1×m=4−4m>0，解得m72答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2． 【解析】作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出△PQB的面积为12×PB×QE，由P、Q点的移动速度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题．