第25章一元二次方程数学活动（教学课件）-2026-2027学年九年级数学上册（人教版2024）

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数学活动第二十五章 一元二次方程 人教版2026·九年级上册学 习 目 标123理解两个一元二次方程存在公共解的含义，掌握方程有公共解的判定条件及推理方法；掌握线段黄金分割的定义，能通过列一元二次方程推导黄金分割比，熟记黄金分割近似值，会判断简单的黄金分割线段.经历“特例计算—猜想结论—推理证明—归纳总结”的探究过程，提升代数推理、归纳概括能力；通过线段分割建模解方程的过程，强化数形结合、数学建模的思想方法.在自主探究与合作交流中体验数学探究的乐趣；感受黄金分割的数学美感与实用价值，体会代数与几何的内在统一性，提升数学学习的积极性与审美素养.基本思想：“降次”，即将一元二次方程转化为一元一次方程来求解，化繁为简。常用方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，需根据方程特点灵活选择。判别式定义：对于 ax²+bx+c=0 (a≠0)，Δ = b² - 4ac 决定了根的情况三种情况：Δ>0 有两个不等实根Δ=0 有两个相等实根Δc>0，两两不等.如图所示 你能把任意一条线段分成不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和？问题转化新知探究将一条线段AB分割为AP、PB两段（AP＞PB），若满足较长线段与整条线段的比等于较短线段与较长线段的比，这种分割方式有何特殊性？ 分析 解决的问题：确定分割点P 的位置 即 AP²=AB×PB，黄金分割比新知探究 解：设线段全长为 1，分成的三条线段为 a，b，c，且 a>b>c>0，两两不等. ∴ bc+ac=ab， (a+b)c=ab. ①把a=b+c，代入①，得: (b+c+b)c=(b+c)b，移项，合并同类项得: b2–bc–c2=0. ②将②看作关于 b 的一元二次方程，c 为常数，解关于b的一元二次方程： : b2–bc–c2=0  求根公式求解 新知探究    验证：长度关系：  倒数关系:    新知探究1.作中点（找到第一个分点）： ② 过交点作AB的垂线，这条垂线与AB的交点即为中点 M.③ 此时AM=BM=a.作图步骤：用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点.新知探究2.在MB上找第二个分点：① 用上述同样的方法作出MB的中点P；② 过点B作MB的垂线，在垂线上截取点C，使BC=PB，连接MC.③ 以点C为圆心，CB长为半径画弧，交线段MC于点D.④ 以点M为圆心，MD长为半径画弧，交线段MB于点N.⑤ 此时MN=b，NB=c.用直尺和圆规作出这条线段中的两个分点.典例分析      典例分析     新知巩固      新知巩固     新知巩固     拓展提升    拓展提升            拓展提升               真题感知  真题感知 【解决问题】：（1）下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ①10       ②24      ③34     ④60  ①③真题感知    真题感知 【探究问题】：   真题感知    两个一元二次方程的公共解可同时满足两个方程，可通过联立方程、代入验根判断公共解，求解参数.课堂小结（1）特殊到一般： 通过具体方程特例，归纳出方程公共解的通用判定规律.（2）数形结合： 将几何线段比例问题转化为一元二次方程代数问题，以代数解几何.（3）数学建模： 从实际几何情境中提取等量关系，建立方程模型解决问题.课堂小结（1）探究方程公共解时，忽略实数根前提，误将无实根方程的虚拟公共根当作有效解.（2）未根据线段长度为正的实际意义舍去负根.课后练习11. 绿水村 2020 年的人均收入为 18000 元，2022 年的人均收入为 21000 元. 求人均收入的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）. 教材p28页课后练习13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？（1）你能解决这个问题吗？ 教材p28页  课后练习13.右图是南宋数学家杨辉研究的垛积问题中“圭垛”的示意图.其问题如下：今有圭垛一堆，上一束，底宽八束.问共几束？教材p28页谢谢聆听