九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数精品第3课时课后测评

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本课核心问题
当两个变量的乘积保持不变时，怎样用反比例函数描述它们的关系，并求出所需的值或范围？
一、学习目标
1. 能从实际问题中找出“乘积为定值”的等量关系，建立反比例函数解析式并写出自变量的取值范围
2. 能利用反比例函数图像与增减性质（k>0 时 y 随 x 增大而减小）解决“至少/至多”型最值问题和取值范围的互推
3. 能按照“画散点图→选模型→求k→检验→求解”的步骤，从实验数据建立反比例函数模型并作出估计
二、重点
• 建立反比例函数模型的三步法：由等量关系求定值 k→写解析式→注明自变量取值范围
• 增减性质在“至少/至多”与范围互推问题中的双向应用
三、难点
• 由图像或区间正确确定自变量与函数值的取值范围（含 2 h 40 min 等时间的单位换算）
学习支架
装卸问题中卸载速度与时间的对应表
例 1：卸载速度与时间的关系
例 2：杠杆中动力与动力臂的关系
功一定时位移与力的关系
例 3：客车平均速度与时间的关系
表 27.3-1 气体的压强与体积实验数据
压强与体积的拟合曲线 p=1997V
四、知识要点
1. 从实际问题建立反比例函数模型
核心问题：当两个变量的乘积保持不变时，怎样用反比例函数描述它们的关系，并求出所需的值或范围？识别标志：两个变量的乘积为定值（xy=k）。常见的等量关系有：平均速度×时间=路程（总量）、平均装载速度×装载时间=货物总量、压强×受力面积=压力、动力×动力臂=阻力×阻力臂、功率×时间=功等。建立模型三步法：① 由题中等量关系求出定值 k；② 写出解析式 y=kx；③ 结合现实条件写出自变量的取值范围（如时间 t>0、长度 l>0）。例如：起重机每小时装 700 t、共装 9 h，货物总量为 700×9=6300（t），卸货速度 v 与卸货时间 t 满足 v×t=6300，即 v=6300t（t>0）。易错点：建模后漏写自变量范围；把“每小时可装载 700 t”误当函数关系直接套用。
2. 利用增减性质求“至少/至多”型最值
性质：当 k>0 且 x>0 时，反比例函数 y=kx 的 y 随 x 的增大而减小。正向用法（例 1 第 (2) 问）：要求货物不超过 6 h 卸载完毕，即 t≤6。先算端点值 v=63006=1050（tℎ）；因为 v 随 t 的增大而减小，所以 t≤6 时 v≥1050。答：平均每小时至少要卸载 1050 t。逆向用法（例 2 第 (2) 问）：若动力不超过原动力 400 N 的一半（F≤200），由 l=600F 得 F=200 时 l=3（m）；因为 F 随 l 的增大而减小，所以 F≤200 对应 l≥3，动力臂至少要加长 3−1.5=1.5（m）。方法要点：先求端点的函数值（或自变量的值），再用单调性确定不等号方向，最后用“至少”“至多”等生活语言作答。易错点：方向搞反（误认为 F≤200 时 l≤3）；把“加长量”与“新的动力臂长度”混为一谈。
3. 由图像确定反比例函数解析式
反比例函数 y=kx 的图像上任意一点 (x₀, y₀) 都满足 k=x₀·y₀。因此，只要知道图像上一个点的坐标，就能求出 k，从而写出解析式。例如：当功 W 为定值时，位移 s 与力 F 的图像经过点 (10, 50)，则 W=k=10×50=500（J），解析式为 s=500F（F>0）。又如：客车图像经过点 (2, 120)，则甲、乙两地路程为 2×120=240（km），解析式为 v=240t。易错点：读图时把横纵坐标读颠倒；忘记 k 是定值，代点计算时抄错坐标。
4. 由自变量范围推函数值范围（区间映射）
借助单调性可以把自变量的范围映射为函数值的范围：k>0 时，x 越大则 y=kx 越小。操作方法：把区间的两个端值分别代入解析式求出两个函数值，再由单调性确定大小方向。例 3 第 (1) 问：v=240t，当 v=120 时 t=2，当 v=60 时 t=4；v 随 t 的增大而减小，所以 60≤v≤120 对应 2≤t≤4。例 3 第 (2) 问：上午 8 时出发，10 时 40 分到达时 t=2+4060=83（h），此时 v=24083=90（km/h）；11 时到达时 t=3（h），v=80（km/h）。所以 80≤v≤90。易错点：映射方向写反（把“80≤v≤90”写成“90≤v≤80”）；时间换算错误（2 h 40 min 是 83 h，不是 2.4 h）。
5. 从实验数据建立函数模型
当问题只给出若干组数据、没有现成公式时，可按以下五步建立模型：① 画散点图，观察点的分布形状；② 选择函数类型（点形似双曲线的一支，尝试反比例函数）；③ 用各组数据分别求 k，取平均值作为模型参数；④ 检验模型：把已知数据代入或画出图像，看是否与实际数据基本吻合；⑤ 用模型求解并作答。教材“探究”实例：压强 p 与体积 V 的 6 组数据（表 27.3-1）分别求出 k=V×p 为 2000、2016、1968、2030、1956、2010，平均值约为 1997，得到模型 p=1997V（V>0）。检验发现模型与数据基本吻合。当 p=132 kPa 时，V=1997132≈15.13（mL）。与以往学习的区别：这里的模型只是近似刻画数据，图像上的点并不都恰好落在曲线上，求出的结果（如 15.13 mL）是估计值，要按题目要求保留小数位数。易错点：求 k 平均值时把某组乘积算错或漏算；忽略“近似”，把估计值当作精确值。
五、典型例题
【例1】
例 1：港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h。此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度为 v（单位：tℎ），卸完所有货物的总时间为 t（单位：h）。(1) 求 v 关于 t 的函数解析式，并写出 t 的取值范围；(2) 由于遇到紧急情况，要求货物不超过 6 h 卸载完毕，平均每小时至少要卸载多少吨货物？
【解答】解：(1) 轮船装载的货物总量为
700×9=6300（t）。卸货时“平均卸载速度×卸载总时间=货物总量”，所以
v×t=6300，即 v 关于 t 的函数解析式为 v=6300t（t>0）。(2) 当 t=6 时，v=63006=1050（tℎ）。对于函数 v=6300t，当 t>0 时，v 随 t 的增大而减小，所以 t≤6 时，v≥1050。答：平均每小时至少要卸载 1050 t 货物。
【点拨】建立模型三要点：先由等量关系求出定值 k，再写解析式，最后写出自变量的实际范围（t>0）。求“至少/至多”时先算端点值，再用单调性确定不等号方向。
【例2】
例 2：某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m。根据杠杆原理“阻力×阻力臂=动力×动力臂”：(1) 动力 F（单位：N）与动力臂 l（单位：m）之间有怎样的函数关系？当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力？(2) 若想使动力 F 不超过 (1) 中所用力的一半，动力臂至少要加长多少米？
【解答】解：(1) 由杠杆原理，得
F×l=1200×0.5=600，所以 F 关于 l 的函数解析式为 F=600l（l>0）。当 l=1.5 时，F=6001.5=400（N）。答：撬动石头至少需要 400 N 的力。(2) 当 F=200 时，l=600200=3（m）。对于函数 F=600l，当 l>0 时，F 随 l 的增大而减小，所以要使 F≤200，必须 l≥3。动力臂至少要加长 3−1.5=1.5（m）。答：动力臂至少要加长 1.5 m。
【点拨】第 (2) 问是例 1 的逆向使用：已知函数值的上限求自变量范围，方向相反——函数值变小对应自变量变大。注意“加长量”=新的动力臂−原来的动力臂，两段长度要分清。
【例3】
例 3：一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）之间的函数图像是双曲线的一支，经过点 (2, 120)，且 60≤v≤120。(1) 求 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围；(2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的取值范围。
客车平均速度 v 与时间 t 的关系
【解答】解：(1) 甲地到乙地的路程为定值，由图像经过点 (2, 120)，得
v×t=2×120=240，所以解析式为 v=240t（t>0）。当 v=120 时，t=2（h）；当 v=60 时，t=24060=4（h）。因为 60≤v≤120，且 v 随 t 的增大而减小，所以 2≤t≤4。(2) 若当天 10 时 40 分到达，行驶时间为
t=2+4060=83（h），此时 v=24083=90（km/h）；若当天 11 时到达，行驶时间为 t=3（h），此时 v=2403=80（km/h）。因为 v 随 t 的增大而减小，所以 80≤v≤90。答：客车平均速度的范围是 80≤v≤90 km/h。
【点拨】求范围分两步：把区间两个端点分别代入解析式求出函数值，再由单调性确定大小方向。注意时间换算：2 h 40 min 是 83 h，不是 2.4 h。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 某工厂要生产一批零件，共 6000 个。若每天生产 x 个，需要 y 天完成，则 y 关于 x 的函数解析式是（________），其中 x 的取值范围是（________）。
2. 一个长方形的面积为 48 cm²，它的一边长为 a cm，邻边长为 b cm，则 b 关于 a 的函数解析式是（________）。
3. 对于反比例函数 y=12x（x>0），y 随 x 的增大而减小。（________）（ ）
4. 某工厂要在 10 天内生产完 6000 个零件，平均每天至少要生产（________）个。
5. 已知反比例函数的图像经过点 (3, 12)，则该函数的解析式是（________）。
6. 已知 v=240t（t>0），若 2≤t≤4，则 60≤v≤120。（________）（ ）
7. 已知 y 与 x 成反比例，当 x=4 时，y=9。(1) 求 y 关于 x 的函数解析式；(2) 当 x=6 时，求 y 的值。
8. 在教材“探究”中，把表 27.3-1 各组数据代入 p=kV 求出的 k 值分别为 2000、2016、1968、2030、1956、2010，它们的平均值为（________）。（结果保留整数）
★★ 能力提升
9. 某工人用撬棍撬动石头，阻力与阻力臂分别为 800 N 和 0.6 m。由杠杆原理可知动力 F=480l（l>0）。若想使动力 F 不超过 200 N，则动力臂 l 应满足（________）。
A. l≥2.4 m B. l≤2.4 m
C. l≥1.2 m D. l≤1.2 m
10. 某印刷厂要印刷一批 3000 张宣传单。印刷速度 x（张/分）与印完所需时间 t（分）成反比例，其图像如图所示，图像上已标出点 (5, 600)。(1) 求 t 关于 x 的函数解析式；(2) 如果要在 4 分钟内印完，印刷速度至少要达到多少张/分？(3) 若印刷速度在 600 张/分至 1500 张/分之间，求印完这批宣传单所需时间 t 的取值范围。
印刷速度 x 与所需时间 t 的关系
11. 甲、乙两地相距 300 km，一辆汽车从甲地匀速行驶到乙地，行驶全程所用时间 t（h）与行驶速度 v（km/h）满足 v=300t（t>0）。若要求全程所用时间在 2.5 h 至 3 h 之间，求汽车平均速度 v 的取值范围。
12. 回顾教材“探究”：在温度不变的条件下，某实验小组测得一定质量气体的压强与体积的 6 组数据（见表 27.3-1）。(1) 分别求出每组数据的 k=V×p 的值，判断 p 与 V 是否近似成反比例关系；(2) 计算 k 的平均值（保留整数），写出 p 关于 V 的函数解析式；(3) 用所得模型估计当压强为 150 kPa 时气体的体积（结果保留小数点后两位）。
表 27.3-1 一定温度下气体的压强与体积实验数据
13. 某汽车销售商推出免息分期付款活动。小张购车后除首付外还欠 20 万元，计划用 x 个月还清，平均每月还款 y 万元，则 y=20x。若小张每月还款不超过 1 万元，则他至少需要（________）个月才能结清余款。
A. 10 个月 B. 20 个月
C. 30 个月 D. 40 个月
★★★ 拓展延伸
14. 某物流公司一辆货车从仓库到距仓库 360 km 的城市送货，货车行驶全程所用时间 t（h）与平均速度 v（km/h）满足 v=360t（t>0），且高速公路上限速 60≤v≤120。(1) 求时间 t 的取值范围；(2) 若公司要求货车 5 h 内到达，平均速度至少要达到多少 km/h？(3) 若货车平均速度不超过 90 km/h，则到达该城市至少需要多长时间？
15. 某物理实验小组在温度不变的条件下，测量一定质量气体的压强与体积，得到下表数据：(1) 分别计算各组 V×p 的值，判断 p 与 V 之间的函数关系，并说明理由；(2) 求 k 的平均值，写出 p 关于 V 的函数解析式；(3) 用这个模型估计当 V=30 mL 时气体的压强。
压强与体积实验数据
散点图（可选用）
16. 请举出一个生活中两个变量成反比例关系的例子，写出它们之间的函数解析式和自变量的取值范围，并说明：随着其中一个变量的增大，另一个变量怎样变化？为什么？
参 考 答 案
第1题：y=6000x；x>0
第2题：b=48a（a>0）
第3题：√
第4题：600
第5题：y=36x
第6题：√
【解析】t=2 时 v=120，t=4 时 v=60；v 随 t 的增大而减小，所以 2≤t≤4 对应 60≤v≤120。[错因:方法]
第7题：(1) 设 y=kx，由 x=4，y=9，得 k=4×9=36，所以 y=36x（x>0）。(2) 当 x=6 时，y=366=6。
【解析】待定系数法：把已知点的坐标代入 y=kx 求 k，再代回解析式求函数值。[错因:方法]
第8题：1997
【解析】(2000+2016+1968+2030+1956+2010)6=11980÷6≈1996.67，保留整数得 1997。[错因:计算]
第9题：A
【解析】当 F=200 时，l=480200=2.4（m）。因为 F 随 l 的增大而减小，所以 F≤200 对应 l≥2.4 m，选 A。选 B 是不等号方向搞反；l=1.2 m 时 F=400 N，与 F≤200 不符。[错因:方法]
第10题：(1) 由图像经过点 (5, 600)，得 k=5×600=3000，所以 t 关于 x 的函数解析式为 t=3000x（x>0）。(2) 当 t=4 时，x=30004=750（张/分）。因为 t 随 x 的增大而减小，所以要在 4 分钟内印完，必须 x≥750。答：印刷速度至少要达到 750 张/分。(3) 当 x=600 时，t=3000600=5（分）；当 x=1500 时，t=30001500=2（分）。因为 t 随 x 的增大而减小，所以 2≤t≤5（分）。
【解析】读图题先把图中标注的点的坐标转化为条件 k=x·y，再按“端点代入+单调性定方向”两步求值求范围。第 (3) 问中 x 增大时 t 减小：速度最快（1500 张/分）时时间最短（2 分），速度最慢（600 张/分）时时间最长（5 分）。[错因:方法]
第11题：当 t=2.5 时，v=3002.5=120（km/h）；当 t=3 时，v=3003=100（km/h）。因为 v 随 t 的增大而减小，所以 100≤v≤120。答：汽车平均速度 v 的取值范围是 100≤v≤120 km/h。
【解析】区间映射：把时间区间的两个端点分别代入解析式求速度，再由单调性定方向——时间越长速度越小，所以时间取 3 h 时速度最小（100 km/h），时间取 2.5 h 时速度最大（120 km/h）。[错因:方法]
第12题：(1) 各组 k 值分别为 2000、2016、1968、2030、1956、2010，它们都接近同一个常数，所以 p 与 V 近似成反比例关系。(2) (2000+2016+1968+2030+1956+2010)÷6≈1997，所以 p 关于 V 的函数解析式为 p=1997V（V>0）。(3) 当 p=150 时，V=1997150≈13.31（mL）。答：压强为 150 kPa 时，气体的体积约为 13.31 mL。
【解析】数据建模步骤：先算各组 k 验证乘积近似为定值，再取平均作为模型参数，代入求解并保留要求的小数位数。注意第 (3) 问的结果是估计值而非精确值，这是数据建模与直接解析式的重要区别。[错因:方法]
第13题：B
【解析】每月还款不超过 1 万元，即 y≤1，则 20x≤1，解得 x≥20（x>0），所以至少需要 20 个月，选 B。选 A 是误把余款当成 10 万元；选 C、D 是计算错误。[错因:计算]
第14题：(1) 当 v=120 时，t=360120=3（h）；当 v=60 时，t=36060=6（h）。因为 v 随 t 的增大而减小，所以 60≤v≤120 对应 3≤t≤6。答：时间 t 的取值范围是 3≤t≤6 h。(2) 当 t=5 时，v=3605=72（km/h）。因为 v 随 t 的增大而减小，所以要在 5 h 内到达（t≤5），必须 v≥72。答：平均速度至少要达到 72 km/h。(3) 当 v=90 时，t=36090=4（h）。因为 v 随 t 的增大而减小，v≤90 对应 t≥4。答：到达该城市至少需要 4 h。
【解析】三问分别对应“区间映射—端点求最值—逆向求自变量”，与例 1、例 2、例 3 的方法一一对应。第 (3) 问与例 2 第 (2) 问同构：函数值取上限时自变量取下界。用到的数学思想：函数思想与数形结合。[错因:方法]
第15题：(1) 各组 V×p 的值分别为 2400、2412、2400、2408、2400、2400，各值都接近同一个常数 2400，即 V 与 p 的乘积近似为定值，所以 p 与 V 近似成反比例关系（在坐标平面内，数据点近似分布在一条双曲线的一支上）。(2) 平均值为 (2400+2412+2400+2408+2400+2400)6=2403，取 k=2400，得 p 关于 V 的函数解析式为 p=2400V（V>0）。检验：当 V=36 时，p=240036≈66.7（kPa），与表中数据 67 基本吻合，说明模型合理。(3) 当 V=30 时，p=240030=80（kPa）。答：估计当 V=30 mL 时，气体的压强约为 80 kPa。
【解析】完整建模流程：数据→（散点图）→选函数类型→求 k 平均→检验→求解。第 (2) 问中平均值为 2403，取整后选用 2400 作为 k，模型与原始数据吻合；第 (3) 问的结果是估计值，作答时要说明“约为”。用到的数学思想：数形结合与模型思想。[错因:方法]
第16题：示例：将 120 元平均分给 x 个人，每人分得 y 元，则 y=120x（x 取正整数，1≤x≤120）。因为总钱数 120 元一定，x 增大时每人分得的钱减少，即 y 随 x 的增大而减小。再如：家庭电路电压 U=220 V 一定时，用电器功率 P 与电阻 R 成反比例，P=48400R（R>0），电阻 R 增大时功率 P 减小。
【解析】反比例关系的关键是“两个变量的乘积为定值”。作答时先说明哪个量是定值，再写解析式与范围，最后用单调性解释变化方向。评分以“乘积为定值、解析式正确、说明合理”为标准，情境不限。用到的数学思想：模型思想。[错因:理解]卸载时间 t（h）
平均卸载速度 v（th）
4.5
1400
6
1050
7
900
9
700
10.5
600
体积 V/mL
压强 p/kPa
20
100
18
112
16
123
14
145
12
163
10
201
体积 V/mL
压强 p/kPa
20
100
18
112
16
123
14
145
12
163
10
201
体积 V/mL
压强 p/kPa
40
60
36
67
32
75
28
86
24
100
20
120