初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）综合与实践 高铁列车运行中的数量关系优秀当堂检测题

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材料复核提示
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本课核心问题
仅凭一张高铁时刻表和列车的运行状态信息，怎样估计出三段路程与全程数量关系？模型结果与真实数据有差异时，如何解释？
一、学习目标
1. 能从G19次列车时刻表中准确读出各站的到时、发时、停留时间与全程用时，并提出可研究的数学问题
2. 能基于“加速—匀速—减速”的运行状态假设，估计并分步计算三段路程与全程平均速度
3. 能画出列车运行全程的速度—时间图象与路程—时间图象，辨认一次函数、二次函数模型
4. 能对照估计与真实信息分析差异原因，反思理想化假设的价值与局限，完成小组研究报告
二、重点
• 从时刻表提取信息：到时、发时、停留、行驶时间与全程用时
• 平均速度＝总路程÷总时间；变速段用平均速度计算路程
• “假设—建模—估计—验证—反思”的完整活动流程
三、难点
• 全程平均速度不等于各段平均速度的算术平均；变速段不能按最高速度350 km/h计算路程
学习支架
活动二已知信息汇总
活动步骤卡
1. 组建合作团队：5～8人一组，每组确定一名负责人
2. 方案构思：讨论信息提取、假设方案与任务分工
3. 方案实施：按方案完成三个活动任务，填写记录表，形成研究报告
4. 展示交流：制作演示文稿汇报成果，分享经验与困难，反思不足
匀速行驶时，路程随时间均匀变化（一次函数）
匀加速段路程随时间非均匀变化（二次函数，t 的单位为小时）
按“起始10 min、最后10 min匀变速，中间350 km/h匀速”模型计算的三段路程
四、知识要点
1. 从高铁列车时刻表获得信息、提出问题
本次活动要研究G19次“复兴号”高铁列车运行中路程、速度、时间之间的数量关系，分三个活动：活动一根据时刻表获得信息、提出问题；活动二研究路程、速度、时间之间的数量关系；活动三对问题解决过程进行反思与拓展。读时刻表的方法：看“到时、发时、停留”三列——始发站在“发时”给出开车时间，终点站在“到时”给出到达时间，经停站给出到达、出发与停留时间。从图1可以读出：G19次列车16:00从北京南出发，20:28到达上海虹桥，全程用时4时28分；17:22到达济南西、17:24开出，停留2分；19:24到达南京南、19:26开出，停留2分。同一天内，行驶时间＝发车时刻－到达时刻。易错点：把“到时”当成发车时间，或忘记扣除停留时间；提出问题时要注意问题能否用已有信息解决（活动一任务2：如果不能，还需要获得哪些信息？）。
2. 路程、速度、时间的基本数量关系与估计
基本关系：路程＝速度×时间（s=vt），速度＝路程÷时间（v=st），时间＝路程÷速度。平均速度＝总路程÷总时间，它不是“各段平均速度的算术平均”。活动二任务1的估计思路：已知每段行驶时间（1.5 h、2 h、1 h）和运行状态（两端变速、中间近似350 km/h匀速），先明确假设，再分段用“路程＝速度×时间”估算。易错点：直接用最高速度350 km/h计算整段路程，忽略加减速阶段实际速度低于350 km/h。
3. 分段运行状态与速度—时间图象
运行状态（教材活动二给出的信息）：列车大概在出站15 min后加速到最大值350 km/h，在进站前15 min由350 km/h减速直至0 km/h，在中间时间段近似地以350 km/h的速度匀速行驶；经停站停留时速度为0。速度—时间图象：加速段是一条斜向上的线段（速度随时间均匀变化，是一次函数），匀速段是水平线段，减速段是斜向下的线段，停留时与时间轴重合。速度—时间图象下方的面积就是这段时间行驶的路程，可用它检验分段计算的结果。易错点：把加速画成竖直跳跃；经停时段忘记把速度画成0。
4. 匀变速运动的理想化假设与路程计算
理想化假设（教材活动二任务2）：假设列车在这三段路线的起始10 min、最后10 min分别做匀变速运动，中间阶段以350 km/h做匀速运动。匀变速段的平均速度＝初速度+末速度2=0+3502=175 km/h，变速段路程＝平均速度×时间。每段路程＝两端变速段路程＋中间匀速段路程；计算前先统一单位：10 min＝16 h。推广（活动三任务2）：若相邻两站路程为s km、运行时间t h，起始和最后分别匀变速t₁ h、t₂ h，中间以350 km/h匀速，则 s=350(t−t1−t2)+175(t1+t2)，即 s=350t−175(t1+t2)。易错点：min与h换算出错；变速段用了最高速度350而不是平均速度175；忘记按“变速段＋匀速段”分步求和。
5. 路程—时间图象与运行状态描述
路程—时间图象：匀速段路程随时间均匀增加，图象是一条直线（一次函数）；匀变速段路程随时间非均匀变化，图象是曲线（二次函数）；停留段图象是水平线段（路程不变）。活动二任务2(3)：由计算出的三段路程与列车时刻表，可以描述列车何时到站、停留多久、各段平均速度等实际运行状态。活动三(4)：画出路程—时间图象后，还可以根据图象提出新的问题，例如“行驶多长时间后列车大约运行了700 km？”“哪一段路程中列车行驶得最快？”
易错点：把变速段的曲线画成直线；把停留画成路程还在增加。
6. 建模—验证—反思：理想化假设的价值与局限
整个问题的解决过程是“假设—建模—估计—验证—反思”：1. 假设：把复杂的真实运行简化为“匀变速＋匀速”；2. 建模：用一次函数、二次函数（路程—时间）和折线图（速度—时间）表示数量关系；3. 估计：计算得到三段路程与平均速度；4. 验证：查阅京沪高铁三段实际长度，对照估计结果；5. 反思：分析差异的可能原因（如实际并非严格匀变速、最高时速与区间限速变化、线路不是直线、时刻表是计划时刻而非精确时刻等），体会理想化假设的价值与局限。教材指出：这样的假设来自实践经验，是对问题的简单化、理想化的描述，可以使我们运用已有的知识研究问题，这是科学研究常用的方法。活动评价：通过成果展示与交流，根据情况选择任务完成表、表现评分表、自我反思表等进行评价，开展自我评价、同学评价和教师评价。易错点：把模型计算的结果当成实际路程；不说明假设就直接给“答案”；反思只写“有差异”而不分析原因。
五、典型例题
【例1】
示范任务1：根据列车的运行状态，估计“北京南至济南西”的路程，并写出估计过程。
【例2】
示范任务2：按“起始10 min、最后10 min分别做匀变速运动，中间以350 km/h做匀速运动”的假设，计算“济南西至南京南”段的路程。
【例3】
示范任务3：全程的平均速度等于三段平均速度的平均值吗？请说明理由。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. G19次列车16:00从北京南出发，20:28到达上海虹桥，全程用时（________）。
G19次“复兴号”列车时刻表（图1，2023年1月）
2. 列车到达济南西站的时刻是（________），发车时刻是（________），在济南西站停留（________）分钟。
见上方共享材料
3. 列车在北京南站和上海虹桥站都停留了2分钟。（ ）
见上方共享材料
4. 从济南西到南京南的行驶时间是2小时。（ ）
见上方共享材料
5. 列车中间匀速行驶阶段的速度约为350 km/h。若以350 km/h匀速行驶2小时，行驶多少千米？
6. 某小组估计列车全程平均速度约为300 km/h。按这个平均速度行驶4.5小时，全程约行驶多少千米？
★★ 能力提升
7. （活动一任务1、2）结合记录表完成：①从时刻表中你能得到哪些信息？②你能提出哪些数学问题？③你提出的问题能否用表中的信息解决？如果不能，还需要获得哪些信息？
我的信息与问题记录表（活动一）
8. （活动二任务1(1)）根据列车运行状态，估计“北京南至济南西”“济南西至南京南”“南京南至上海虹桥”三段的路程，并把结果填入记录表。要求先写出你的假设。
三段路程研究记录表
9. （活动二任务1(2)）列车在上述三段路线中的平均速度一样吗？不计算能判断吗？依据是什么？
10. （活动二任务1(4)）画出列车运行全程中速度随时间变化的图象（速度单位：km/h；时间单位：h）。提示：经停站停留时速度为0。
G19次列车运行全程速度—时间图象
11. （活动二任务1(3)）京沪高铁全长大概是多少？列车的全程平均速度大概是多少？全程的平均速度等于每段平均速度的平均值吗？
12. （活动二任务2(2)）假设列车在这三段路线的起始10 min、最后10 min分别做匀变速运动，中间阶段以350 km/h做匀速运动，这时三段路程分别是多少？把结果填入记录表。
见上方共享材料
★★★ 拓展延伸
13. （活动三任务1）回顾本次解决问题的过程：估计三段路程→对照实际→假设匀变速→计算→画图。教材说“这样的假设来自实践经验，是对问题的简单化、理想化的描述，可以使我们运用已有的知识研究问题”。请谈一谈：(1)我们用了哪些假设？(2)真实的列车运行并不是严格的匀速或匀变速，为什么我们仍要用这些假设？(3)如果对照实际长度后发现存在差异，可能的原因有哪些？
14. （活动三任务2）假设高铁相邻两站之间的路程为s km，列车在这段路程的运行时间为t h，运行的起始 t1 h、最后 t2 h 分别做匀变速运动，中间阶段以350 km/h做匀速运动，写出s关于t、t₁、t₂的代数表达式。
15. （活动二任务2(3)、活动三(4)）(1)由模型计算出的三段路程和列车时刻表，描述G19次“复兴号”高铁列车的实际运行状态；(2)画出列车运行路程随时间变化的图象；(3)根据图象提出一个问题并解答。
G19次列车运行路程—时间图象
项目
数据
车次与区间
G19次“复兴号”，北京南→上海虹桥
出发—到达
16:00 → 20:28（全程4时28分）
全程行驶用时
约4.5 h
经停
济南西（2 min）、南京南（2 min）
三段行驶用时
1.5 h、2 h、1 h
运行状态
出站约15 min加速到350 km/h，进站前约15 min减速到0，中间近似以350 km/h匀速
路段
行驶用时
变速段(km)
匀速段(km)
路段路程(km)
北京南—济南西
1.5 h
58.3
408.3
466.7
济南西—南京南
2 h
58.3
583.3
641.7
南京南—上海虹桥
1 h
58.3
233.3
291.7
合计
4.5 h
175.0
1225.0
1400.0
站名
到时
发时
停留
北京南
—
16:00
—
济南西
17:22
17:24
2分
南京南
19:24
19:26
2分
上海虹桥
20:28
20:28
—
我从时刻表中获得的信息
我提出的问题
解决它还需要哪些信息
路段
行驶用时
我的估计(km)
匀变速模型计算(km)
实际长度(km)
差异及可能原因