初中人教版（2024）第二十七章 反比例函数27.3 实际问题与反比例函数优秀第1课时导学案

这是一份初中人教版（2024）第二十七章 反比例函数27.3 实际问题与反比例函数优秀第1课时导学案，共6页。学案主要包含了学习目标，复习导入，合作探究等内容，欢迎下载使用。
第1课时 实际问题中的反比例函数(1)
【学习目标】
1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力. (重点、难点)
3. 能够根据实际问题确定自变量的取值范围．
学习重点：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力.
学习难点：能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力.
【复习导入】
拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？

【合作探究】
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
[典例精析]
例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h.
(1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？
(2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？


想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
[练一练] 1.某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y与 x 之间的函数关系式；
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？
[练一练]2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t 有怎样的函数关系？
古希腊科学家阿基米德(公元前287—前212 ) 发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”.
杠杆原理为：阻力×阻力臂 = 动力×动力臂.

[典例精析]
例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m)有怎样的函数关系? 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力?
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动力臂 l 至少要加长多少?
想一想：在物理中，我们知道，在阻力和阻力臂一定的情况下，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
[练一练]
3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
4. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系?
(2) 这个用电器功率的范围是多少?
[归纳总结]
其他学科中的反比例函数:
① 电压 U 一定时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例函数关系，解析式为 ；
② 压力F一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比例函数关系，解析式为 ；
③ 气体质量 m 一定时，密度 ρ 与体积 V 成反比例函数关系，解析式为 .

当堂反馈
1.当电压为220V时(电压＝电流×电阻)，通过电路的电流I(A)关于电路中电阻R(Ω)的函数解析式为( )
A.I＝220RB.I＝220RC.I＝R220D.R＝220I
2.若购买xkg的水果需要24元，则购买该水果的单价y(单位：元/kg)与x之间的关系式是( )
A.y＝24x(x＞0)B.y＝24x(x为自然数)
C.y＝24x(x为整数)D.y＝24x(x为正整数)
3.收音机刻度盘的波长λ和频率f分别是用米和千赫兹为单位标刻的，波长λ和频率f满足函数解析式f＝300000λ，这说明波长λ越大，频率f就越 .
4.在一定范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为800t时，市场供应量为10000t，则当市场供应量为16000t时的需求量是 .
5.[教材变式]某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把1200m3的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运xm3，所需时间为y天，写出y关于x的函数解析式；
(2)若每辆拖拉机一天能运12m3，则5辆这样的拖拉机要多少天才能运完？
参考答案
【合作探究】
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
[典例精析]
例1 解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )，
所以 v 关于 t 的函数解析式为v＝6300t
(2) 把 t＝6 代入 v＝6300t ，得v＝63006＝1050（t/h）
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 v＝6300t. 当 t > 0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过 6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物.
想一想：第 (2) 问实际上是已知函数 v 的值，求自变量 t 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
[练一练] 1.
解：（1）.
（2）x =12×5=60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
（3）运了8天后剩余的垃圾有1200－8×60=720 (立方米)，
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天至少运720÷6=120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是：120÷12=10 (辆)，即至少需要增加拖拉机10－5=5 (辆).
[练一练]2.
解：（1）80×6=480 (千米)
答：甲、乙两地相距 480 千米.
（2）由题意，得 vt=480，整理得 (t ＞0).

[典例精析]
例2 解：（1）根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于l 的函数解析式为
对于函数，当 l =1.5 m时，F =400 N，此时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要
400 N的力.
（2）当F=400×=200 时，由200 =，得l=3，3－1.5 =1.5 (m).
对于函数，当 l ＞0 时，l 越大，F越小.
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
[练一练]
3. 解：（1）由，得，
p 是 S 的反比例函数，因为给定一个 S 的值，就有唯一的一个 p 值和它对应，根据反比例函数定义，得出 p 是 S 的反比例函数．
（2）当 S ＝0.2 m2 时，.
故当木板面积为0.2 m2时，压强是3000 Pa．
（3）当 p=6000 时，由，得S=0.1.
对于函数，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小. 因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
4. 解：（1）根据电学知识，当 U = 220 时，得.
（2）根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入求得的解析式，得到功率的最大值W；
把电阻的最大值 R = 220 代入求得的解析式，得到功率的最小值W
因此用电器功率的范围为220~440 W.

当堂反馈
1. A 2. A
3. 小 .
4. 500t .
5.解：(1)∵xy＝1200，∴y＝1200x(x＞0).
(2)x＝12×5＝60，代入函数解析式得y＝120060＝20.
答：5辆这样的拖拉机要20天才能运完.