初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）27.1 反比例函数的概念精品第1课时测试题

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本课核心问题
两个变量的乘积保持一定时，它们之间是什么关系？怎样识别反比例关系、写出解析式并求出解析式中的常数 k？
一、学习目标
1. 理解反比例函数的概念，能识别形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数
2. 能从实际问题中抽象出反比例函数解析式，并正确说出自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数
3. 会用待定系数法求反比例函数的解析式，并会求函数值
二、重点
• 反比例函数的定义：形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数
• 用待定系数法求解析式的四个步骤：设、代、解、写
三、难点
• 判断一个函数是否为反比例函数：必须能化成 y=kx 的形式；同时记住自变量 x 的取值范围是 x≠0
学习支架
矩形草坪问题中 y 与 x 的对应数值（面积为 1000 m²）
反比例函数 y=12x 的曲线示意（标出例题中的点）
待定系数法求反比例函数解析式
1. 设：设 y=kx（k≠0）
2. 代：把已知的一对 x、y 代入
3. 解：求出常数 k
4. 写：写出解析式，再求函数值
易错对比：什么样的式子才是反比例函数
四、知识要点
1. 反比例函数的概念
本课核心问题：两个变量的乘积保持一定时，它们之间是什么关系？怎样用解析式表示这种关系？一般地，形如 y=kx（k 为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数。其中 x 是自变量，y 是 x 的函数。定义中的三个要点缺一不可：① 形式：能写成 y=kx，x 在分母上；② 分子 k 是常数；③ k≠0：若 k=0，则 y=0，不是反比例函数。例如 y=5x、y=12x、xy=6（即 y=6x）都是反比例函数。
2. 从实际问题抽象反比例函数
教材从三个现实情境抽象出反比例函数：① 京沪高铁全程 1318 km，列车平均速度 v 与全程运行时间 t：v=1318t；② 面积 1000 m² 的矩形草坪，相邻两边长 y 与 x：y=1000x；③ 5 GB 手机流量，平均每天使用量 Q 与使用天数 t：Q=5t。三个情境的共同特征：一个量乘另一个量等于一个定值——路程=速度×时间，面积=长×宽，总量=每天用量×天数，即 xy=k（k 为非零常数）。把实际问题抽象成解析式的步骤：先找两个变量，再找它们不变的积，最后写成 y=kx 的形式。
3. 自变量 x 的取值范围
在反比例函数 y=kx 中，x 在分母上。当 x=0 时，分式无意义，所以自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数，即 x≠0。注意：在实际问题中，自变量还要满足问题的实际意义。例如草坪的边长 x>0、运行时间 t>0、班级个数为正整数；就函数本身而言，只需 x≠0。
4. 用待定系数法求解析式并求函数值
已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=2 时 y=6，求解析式：第一步（设）：设 y=kx（k≠0）；第二步（代）：把 x=2，y=6 代入，得 6=k2；第三步（解）：解得 k=12；第四步（写）：写出解析式 y=12x。求函数值：把 x=4 代入 y=12x，得 y=124=3。检验：当 x=2 时，y=122=6，与已知条件一致。本质认识：反比例函数中 k=xy，任意一对对应的 x、y 的乘积都等于 k。
5. 把更多数量关系写成解析式
教材练习把反比例关系放到更多情境中：① 游泳池容积 2000 m³，注满所用时间 t 随注水速度 u 变化：t=2000u；② 1000 m² 实践田平均分给 x 个班，每班面积 y：y=1000x；③ 电压为 3 V 的电路，电流 I 随电阻 R 变化：I=3R。已知一对 x、y 反求 k 时注意符号：若当 x=-2 时 y=4，则 k=xy=(-2)×4=-8，解析式为 y=−8x，即 y=−8x。
五、典型例题
【例1】
某住宅小区要种植一块面积为 1000 m² 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化。写出 y 关于 x 的解析式，判断 y 是不是 x 的反比例函数，并指出自变量 x 的取值范围。
【解答】① 设草坪相邻两边长分别为 x m 和 y m；② 由矩形面积公式，得 xy=1000；③ 变形为 y=1000x；④ 它符合 y=kx 的形式，其中 k=1000≠0，所以 y 是 x 的反比例函数；⑤ 就函数本身而言，x≠0；结合实际意义，草坪的边长 x>0，所以实际问题中 x 的取值范围是 x>0。
【点拨】从实际问题抽象函数的关键，是把“乘积一定”翻译成等式 xy=k，再化成 y=kx 的形式。这也是判断反比例函数关系的根本方法。
【例2】
已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=2 时，y=6。（1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）当 x=4 时，求 y 的值。
【解答】（1）设 y=kx（k≠0）。把 x=2，y=6 代入，得 6=k2，解得 k=12。所以 y 关于 x 的函数解析式为 y=12x。（2）把 x=4 代入 y=12x，得 y=124=3。检验：当 x=2 时，y=122=6，与已知条件相符，答案正确。
【点拨】待定系数法四步：设、代、解、写。也可以直接用 k=xy 求 k：k=2×6=12。
【例3】
判断下列函数中哪些是反比例函数，并说明理由：① y=x2；② xy=3；③ y=1x+1；④ y=5x。
【解答】① y=x2=12x，x 在分子上，是正比例函数，不是反比例函数；② xy=3 可变形为 y=3x，k=3≠0，是反比例函数；③ y=1x+1 的分母是 x+1，不能化成 y=kx 的形式，不是反比例函数；④ y=5x 中 k=5≠0，是反比例函数。所以②④是反比例函数。【易错对比】
错误想法：y=x2 中有分数，就是反比例函数。正确判断：反比例函数必须能化成 y=kx（k≠0）的形式；y=x2=(12)x，x 在分子上，是正比例函数。
【点拨】判断的关键不是“有没有分数”，而是能否化成 y=kx（k≠0）的形式：x 必须在分母上，且分子是常数。
同 步 练 习
★ 基础巩固
1. 反比例函数 y=12x 中，常数 k 的值为（________）。
2. 京沪高铁全程为 1318 km，某次列车全程运行时间为 t h，平均速度为 v km/h，则 v 关于 t 的函数解析式是 v=（________）。
3. 反比例函数 y=6x 中，自变量 x 的取值范围是（________）。
4. 已知 y 是 x 的反比例函数，且当 x=3 时，y=4，则 k=（________），函数解析式为（________）。
5. 函数 y=2x 是反比例函数。（ ）
6. 函数 y=1x+2 是反比例函数。（ ）
7. 反比例函数 y=5x 的自变量 x 可以取任何实数。（ ）
8. 某电路两端的电压为 3 V，电流 I（单位：A）随电阻 R（单位：Ω）的变化而变化，则 I 关于 R 的函数解析式是 I=（________）。
★★ 能力提升
9. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（________）。
A. y=x2
B. y=2x
C. y=2x+1
D. y=2x+1
10. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=-2 时，y=4，则 k 的值为（________）。
A. -8 B. 8
C. -2 D. 2
11. 一个游泳池的容积为 2000 m³，注满水所用时间 t（单位：h）随注水速度 u（单位：m3ℎ）的变化而变化。（1）写出 t 关于 u 的函数解析式，并判断它是不是反比例函数；（2）当注水速度为 40 m3ℎ 时，注满水需要多少小时？
12. 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=-2 时，y=4。（1）求这个函数的解析式；（2）当 x=4 时，求 y 的值；（3）写出自变量 x 的取值范围。
13. 已知 y=12x。（1）填写下表，把对应的 y 值填入表中；（2）观察表中每一组 x 与 y 的乘积，有什么规律？（3）自变量 x 的取值范围是什么？
★★★ 拓展延伸
14. 某运输公司要运送一批总质量一定的货物，车辆载重量 w（单位：kg/辆）与所需车辆数 n（单位：辆）的对应关系如下表。（1）n 是 w 的反比例函数吗？说明理由并写出解析式；（2）若改用载重量为 600 kg 的货车，需要多少辆？（3）若公司只有 3 辆车可用，平均每辆车的载重量是多少？
15. 已知 y 是 x 的反比例函数。当 x 增大到原来的 2 倍时，y 的值怎样变化？请用代数方法说明理由。
参 考 答 案
第1题：12
【解析】对照定义 y=kx，分母是 x，分子 12 就是常数 k。
第2题：1318t
第3题：x≠0（不等于 0 的一切实数）
第4题：12；y=12x
第5题：√
【解析】k=2≠0，符合定义，是反比例函数。
第6题：×
【解析】y=1x+2=1+2xx，分子含 x，不是常数，不能化成 y=kx 的形式。[错因:理解]
第7题：×
【解析】x=0 时，50 无意义，所以 x 不能取 0，取值范围是 x≠0。[错因:知识]
第8题：3R
第9题：B
【解析】A 中 y=x2=12x，是正比例函数；B 符合 y=kx 的形式且 k=2≠0；C 是一次函数；D 的分母是 x+1，不能化成 y=kx 的形式。[错因:知识]
第10题：A
【解析】k=xy=(-2)×4=-8。反比例函数中 k 等于任意一对对应值的乘积，注意符号：异号相乘得负。[错因:计算]
第11题：（1）容积=注水速度×时间，即 ut=2000，所以 t=2000u，符合 y=kx 的形式（k=2000≠0），t 是 u 的反比例函数。（2）当 u=40 时，t=200040=50（h）。答：注满水需要 50 小时。
【解析】先找“不变的积”（容积 2000），再按关系式变形写出解析式；求函数值就是把 u=40 代入解析式计算。[错因:方法]
第12题：（1）设 y=kx，把 x=-2，y=4 代入，得 4=k−2，解得 k=-8，所以解析式为 y=−8x。（2）把 x=4 代入，得 y=−84=−2。（3）自变量 x 的取值范围是 x≠0。
【解析】待定系数法四步：设、代、解、写；求 k 时可直接算 k=xy=(-2)×4=-8。代入求值后用 k=xy 检验：4×(-2)=-8，正确。[错因:计算]
第13题：（1）对应的 y 值依次为 12、6、4、3、2、1；（2）每一组 x 与 y 的乘积都等于 12，即 xy=12（k 恒定）；（3）自变量 x 的取值范围是 x≠0。
【解析】把 x 的值逐个代入 y=12x 求函数值；乘积恒定正是反比例函数中 k 的本质，也是判断反比例关系的重要证据。[错因:计算]
第14题：（1）是。表中每一组 w 与 n 的乘积都等于 4800，即 wn=4800（定值），变形得 n=4800w，符合 y=kx 的形式且 k=4800≠0，所以 n 是 w 的反比例函数。（2）当 w=600 时，n=4800600=8（辆）。（3）当 n=3 时，w=48003=1600（kg）。答：需要 8 辆车；平均每辆载重量为 1600 kg。
【解析】表格中乘积恒定是判断反比例关系最直接的证据；第（2）（3）问分别用解析式求函数值、反求自变量，体现反比例函数的“双向”使用。[错因:方法]
第15题：设原来 x=x1 时，y1=kx1。当 x 增大到原来的 2 倍，即 x2=2x1 时，y2=k2x1=12·kx1=12y1。所以 y 的值变为原来的一半。
【解析】把 x 的变化代入解析式，利用 k 不变进行代数变形；结论直观体现 xy=k 恒定的特征。这是从代数角度初步感受反比例函数的变化趋势，下一课时将结合图象系统研究。[错因:理解]边长 x（m）
2
4
5
8
10
另一边长 y（m）
500
250
200
125
100
x 与 y 的乘积
1000
1000
1000
1000
1000
错误判断
正确判断
y=x2 是反比例函数
y=x2 可化为 y=12x，x 在分子上，是正比例函数，不是反比例函数
x
1
2
3
4
6
12
载重量 w（kg/辆）
800
1200
1600
2400
所需车辆数 n（辆）
6
4
3
2
w×n
4800
4800
4800
4800