数学九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数一等奖教学设计

这是一份数学九年级上册（2024）27.3 实际问题与反比例函数一等奖教学设计，共12页。教案主要包含了思维激活，思维引导，思维呈现，思维拓展等内容，欢迎下载使用。
1.理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤.
2.通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力.
3.体会数学模型在实际问题中的“近似性”，感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维.
1.用反比例函数拟合实际数据的方法，建立函数模型的一般步骤.（重点）
2.理解“近似函数模型”与“精确函数”的区别.（难点）
知识链接：前面我们已经学习了函数的相关应用，但一些真实问题的数据往往不能精确符合具体函数的特征，对此我们应该怎么分析呢？
探究点：建立反比例函数模型解决实际问题
步骤1：观察数据，选模型
学生活动：分组画出教材P78表27.3－1的散点图（给出坐标纸），观察点的分布形状.
引导发现：“这些点看起来像什么曲线？”
（学生回答“双曲线的一支”）
因此选择反比例函数模型p＝kV.
步骤2：求“近似定值k”
计算每组数据的k＝V·p（教材P79表27.3－2），学生分组计算后汇报结果：
组1：V＝20，p＝100→k＝2000；
组2：V＝18，p＝112→k＝2016；
…（依次计算6组）.
思考：这些k是完全相等的吗？为什么？
实验误差导致k近似相等.
求平均值：全班一起计算所有k值的平均值.
k＝16（2000＋2016＋1968＋2030＋1956＋2010）≈1997.
步骤3：验证模型的“近似性”
学生活动：将原数据代入解析式，计算“预测值”并与实际值对比：
结论：误差很小，说明这个近似模型能较好地描述实际数据的规律.
追问：实验中V不能为0，为什么？
体积为0不符合实际，反比例函数中V＞0是实际意义的限制.
归纳总结：建立函数模型的一般步骤：
（1）收集数据：获取实际问题中的变量对应数据；
（2）分析数据：画散点图，观察数据的变化规律；
（3）选择模型：根据散点图特征，选择合适的函数模型；
（4）确定解析式：用数据求函数参数（如求k的平均值），得到近似/精确解析式；
（5）验证与应用：用模型解释或解决实际问题.
（20分）【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例函数的图象（如图①）.
如图①，在该反比例函数图象上任取一点A，作出矩形ABOC.为探究它的周长的最大值或最小值情况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得到部分数据如下：
【思维呈现】
（1）矩形ABOC的面积为 6 ；
（2）根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，AB＋AC的和为纵坐标，在图②的平面直角坐标系中描出表中各组数值所对应的点（AB，AB＋AC），并用平滑的曲线连接；
解：如图②所示.
（3）根据以上信息，判断AB＋AC存在最 小 值（填“大”或“小”），此时矩形ABOC的周长C1约为 9.8 （结果保留小数点后一位）；
【思维拓展】
（4）若一个面积为6的圆的周长记为C2，则C1 ＞ C2（填“＞”“＜”或“＝”）.
建立反比例函数模型解决实际问题收集数据→画散点图、分析规律→选函数模型→求参数，确定解析式→验证＋应用


实际V
实际p
模型预测p（1997V）
误差
20
100
99.85
0.15
18
112
110.94
1.06
AB
…
1.00
1.50
2.00
3.00
3.50
4.00
5.00
6.00
…
AB＋AC
…
7.00
5.50
5.00
5.00
5.21
5.50
6.20
7.00
…