初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念优秀学案设计

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.1 一元二次方程的概念优秀学案设计，共10页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 一元二次方程的定义
【典例1】若关于x的方程(m+1)xm2+1+5x−4=0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．±1
【变式1】下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+3x=6；③x2＝0；④x＝3x2；⑤（x+1）（x﹣1）＝x2+4x．其中一元二次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．y2＝x
C．x2+x2x=2D．x﹣3＝﹣x2
【变式3】若(m−2)xm2−2+x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
题型2 一元二次方程的一般形式
【典例1】将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3，5B．3，1C．3x2，﹣5xD．3，﹣5
【变式1】一元二次方程3x2﹣4x＝2的常数项是（ ）
A．﹣4B．2C．﹣2D．3
【变式2】方程x（x﹣6）＝6x+25化为一元二次方程的一般形式是x2﹣mx+n＝0，则m，n的值分别是（ ）
A．12，﹣25B．1，﹣25C．﹣19，25D．0，25
【变式3】方程2x2﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．﹣3B．2C．0D．3
题型3 一元二次方程的解
【典例1】若关于x的一元二次方程x2+mx﹣3＝0的一个根是x＝1，则m的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【变式1】关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．1或﹣1D．12
【变式2】如果2是方程x2﹣cx+2＝0的一个根，那么c的值是（ ）
A．3B．2C．﹣2D．﹣3
【变式3】先化简，再求值：(m2−3m+1m−1−m+3)÷m2−4m+4m−1+1m+2−3，其中m为方程x2﹣2x﹣4＝0的解．
过 关 验 收
若关于x的方程（m﹣1）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m＝1B．m≠1C．m≥1D．m≠0
下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．3x+5y＝0B．5x+2＝0
C．3x2﹣2025＝0D．2x−1x=0
下列关于x的方程：①x2+3x−5=0；②x2+x3−5=0；③x2﹣2+x3＝0；④x2﹣23+x＝0；⑤2x2﹣x﹣3＝0；⑥ax2+bx+c＝0中，一元二次方程的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x+6y＝10B．ax2+bx+c＝0
C．x2﹣6＝0D．9x+1x=4
已知关于x的方程（k+2）x|k|+x+4＝0是一元二次方程，则k的值为（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．不能确定
下列关于x的方程是一元二次方程的是（ ）
A．x2﹣2x+1＝x2+5B．ax2+bx+c＝0
C．x2+x＝﹣8D．2x2﹣y﹣1＝0
将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（ ）
A．3x2+1＝6xB．3x2﹣1＝6xC．3x2+6x＝1D．3x2﹣6x＝1
把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0B．x2﹣3x+1＝0C．x2+3x﹣1＝0D．x2+3x+1＝0
将方程x（x﹣3）＝5化为一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是（ ）
A．1B．﹣3C．5D．﹣5
将方程x2﹣8x＝10化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．﹣8、﹣10B．﹣8、10C．8、﹣10D．8、10
若关于x的一元二次方程(a+13)x2+3x+a2−19=0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．0B．13C．−13D．13或−13
把一元二次方程2（x﹣1）x＝5化成一般式，则a，b，c的值分别是（ ）
A．﹣2，2，5B．2，﹣2，﹣5C．1，4，﹣5D．﹣2，﹣2，﹣5
根据下列表格的对应值：
由此可判断方程x2+12x﹣15＝0必有一个根满足（ ）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．0或﹣3
关于x的一元二次方程x2+2x＝0的常数项被墨迹覆盖，已知x＝2是该方程的一个解，则被墨迹覆盖的常数项为（ ）
A．﹣8B．8C．0D．4
定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“美好”方程，如果一个一元二次方程2x2+mx+n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，则mn值为（ ）
A．2B．0C．﹣2D．3
如果m是方程x2﹣2x﹣6＝0的一个根，那么代数式2m2﹣4m+3的值为 ．
如果x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx+3＝0（a≠0）的一个根，那么2021﹣4a+4b＝ ．
题型1 一元二次方程的定义
题型2 一元二次方程的一般形式
题型3 一元二次方程的解
解｜题｜知｜识
（1）一元二次方程的定义：
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必须同时满足三个条件：
①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数是2．
（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
解｜题｜知｜识
（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
解｜题｜知｜识
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29