人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程精品学案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程精品学案，文件包含核心素养部编版小学语文五年级上册交流平台与初试身手课件pptx、核心素养部编版小学语文五年级上册交流平台与初试身手教案含教学反思docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共13页， 欢迎下载使用。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
【典例1】如图，在长80m，宽40m的矩形花园中，欲修宽度相等的小路（阴影部分），要使小路面积占总面积的110．则路宽xm应满足的方程是（ ）
A．（40﹣x）（80﹣x）＝320
B．（40﹣2x）（80﹣3x）＝320
C．（40﹣x）（80﹣x）＝2880
D．（40﹣2x）（80﹣3x）＝2880
【变式1】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ）
A．（1﹣x）2＝50%B．（1+x）2＝50%
C．1﹣2x＝50%D．（1﹣x）（1+x）＝50%
【变式2】如图，是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2，求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为xm，根据题意所列方程为（ ）
A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520B．（40﹣x）（22﹣x）＝520
C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520D．（40﹣x）（22+x）＝520
【变式3】某商场销售一款T恤，进价为每件40元，当售价为每件60元时，平均每周可卖出200件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件每降价1元，平均每周可多卖出8件，若要使每周销售该款T恤获利8450元，设每件降低x元，则可列方程为（ ）
A．（60﹣x）（200+8x）＝8450
B．（20﹣x）（200+x）＝8450
C．（40﹣x）（200+8x）＝8450
D．（20﹣x）（200+8x）＝8450
【变式4】甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（ ）
A．x+x（1+x）＝225B．1+x+x2＝225
C．1+x+x（1+x）＝225D．x（1+x）＝225
【变式5】随着“互联网+教育”的发展，某市逐步推出空中课堂，为学生提供线上授课．据统计，受益学生人次逐批增长，第一批受益学生10万人次，第三批受益学生14.4万人次．设第一批到第三批受益学生人次的平均增长率为x，则根据题意可列方程为 ．
【变式6】某中学组织篮球比赛，初赛为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了28场初赛．设共有x支队伍参加初赛，则可列一元二次方程： （结果化为一般式）．
题型2 一元二次方程的应用
【典例1】某药品经过连续两次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元，若两次降价的百分率相等，则降价的百分率为（ ）
A．10%B．20%C．25%D．30%
【变式1】要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6B．7C．8D．9
【变式2】如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝3cm，点P以1cm/s的速度从点A开始沿边AB向点B移动，点Q以2cm/s的速度从点B开始沿边BC向点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，（ ）s后P、Q之间的距离等于42cm．
A．25B．2C．65D．25或2
【变式3】某种品牌电动汽车经过连续两次降价，售价由25万降为16万，则平均每次降价的百分率是（ ）
A．18%B．20%C．32%D．36%
【变式4】如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点B运动；同时，点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点C运动，点P运动到点B时，点Q也停止运动；当△PQC的面积等于16cm2时，运动时间为（ ）s．
A．2B．4C．10D．2或10
【变式5】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
（1）求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
（2）为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
【变式6】综合与实践
九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做个收纳盒．
善思组：把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，（如图1）然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．
问题解决：（1）若该收纳盒的底面积为1600cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列出方程： ，求得剪去的小正方形的边长为 cm．
博学组：把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒（如图2）．
问题解决：（2）若EF和HG两边恰好重合且无重叠部分，该收纳盒的底面积为608cm2．设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为 cm，宽为 cm（用a的代数式表示），则可列方程为： ，若有一个玩具机械狗，其尺寸大小如图3所示，请判断是否能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由．
问题解决：（3）按照博学组的剪法， （填“可以”或“不可以”）剪出一个收纳盒把玩具机械狗完全放入（立放或者平放）．
过 关 验 收
有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有81个人患了流感，设平均每轮每人传染x个人，则下列等式成立的是（ ）
A．1+x+x2＝81B．1+x+x（x+1）＝81
C．1+x+（1+x）2＝81D．1+（1+x）2＝81
今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为0.5亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为1.2亿元．若把增长率记作x．则可列方程为（ ）
A．0.5（1+x）＝1.2
B．0.5（1﹣x）＝1.2
C．0.5（1+x）2＝1.2
D．0.5+0.5（1+x）+0.5（1+x）2＝1.2
某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程（ ）
A．160（1+x）2＝450
B．160（1+x）+160（1+x）2＝450
C．160（1+x+x2）＝450
D．160+160（1+x）+160（1+x）2＝450
如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12m的墙（图中阴影部分），另外三边用25m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为xm，若花圃的面积为80m2，所列方程正确的是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．（x﹣1）（25﹣2x）＝80
九（1）班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师趁热打铁，让九（1）班全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国．已知共赠勉励卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，根据题意可列方程为（ ）
A．x2＝1560B．x（x﹣1）＝1560
C．x（x+1）＝1560D．12x(x−1)=1560
拉布布（Labubu）作为中国潮玩品牌泡泡玛特旗下的核心IP，其全球爆火不仅是一次商业奇迹，更是中国文化输出的创新范式．某商店在今年6月和8月拉布布的销售额分别是2.2万元和2.5万元．设今年6月到8月拉布布的销售额的月平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．2.2（1﹣x）2＝2.5B．2.5（1﹣x）2＝2.2
C．2.2（1+x）2＝2.5D．2.5（1+x）2＝2.2
我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆田一段，共积二百五十二步，只云方面圆径适等．问方（面）圆径各若干？”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所示），面积之和为252，只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等．问正方形田的边长和圆形田的直径各为多少？设正方形田的边长为x，则可列出方程为（ ）
A．x2+πx2＝252B．（2x）2+πx2＝252
C．x2+2πx2＝252D．x2+π(x2)2=252
我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请x个球队参加比赛，可列方程得（ ）
A．x（x+1）＝28B．x（x﹣1）＝28
C．12x(x+1)=28D．12x(x−1)=28
如图是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（ ）
A．1B．12C．﹣1D．1或﹣1
某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 ．
如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为 cm．
开学临近，某商家抓住商机，购进了一批笔记本和套尺，商家用400元购买笔记本，300元购买套尺，每本笔记本和每个套尺的进价之和为10元，且购买笔记本的数量是套尺数量的2倍．
（1）求商家购进的每本笔记本和每个套尺的单价；
（2）商家在销售过程中发现，当笔记本的售价为每本8元，套尺的售价为每个12元时，平均每天可卖出50本笔记本，30个套尺，据统计分析，套尺的销售单价每降低0.5元平均每天可多卖出5个，且降价幅度不超过10%．商家在保证笔记本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使这批笔记本和套尺平均每天的总获利为400元，求每个套尺的售价为多少元？
公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量．某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
国庆假期佛山市某景区吸引了各地游客前来参观．据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
（1）求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
（2）据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了让游客尽可能得到优惠，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低10元，平均每天可多售出2000个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应降低多少元？
如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向点终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s的速度向点终点C运动，它们到达终点后停止运动．
（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；
（2）几秒后，△DPQ的面积是24cm2．
列方程解下列问题：
甲、乙两支队伍计划在同一天出发自驾游，沿着不同的路线旅行至相同目的地．甲队走A路线，全程1500千米，乙队走B路线，全程1600千米，但B路线高速公路较多，若乙队平均每天行驶路程是甲队的43倍，这样乙队旅行天数比甲队要少1天．
（1）求甲、乙两队原计划分别自驾多少天．
（2）甲、乙两队开始各有20人，甲队计划每人每天的平均花费为500元，而甲队实际又加入了m人（m＞0），经统计，甲队每增加1人，每人每天的平均花费将减少20元；乙队人数不变，每人每天的平均花费始终为400元．若两个队的旅行天数与各自原计划天数一致，且甲队的总花费比乙队总花费多18000元，求m的值．
题型1 由实际问题抽象出一元二次方程
题型2 一元二次方程的应用
解｜题｜知｜识
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
解｜题｜知｜识
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
新对话
有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．
深度思考中…
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