初中3.2 一元二次方程的解法第3课时测试题

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本课核心问题
怎样识别一个一元二次方程适合因式分解，并把“整理—分解—降次—求解—检验”写得既正确又完整？
一、学习目标
1. 理解零积性质的使用条件，能说明因式分解法把一元二次方程降次的道理。
2. 能按“移项为0—因式分解—分别令因式为0—解一次方程—检验”的顺序规范求解。
3. 能根据式子结构选用提公因式、平方差、完全平方或十字相乘，并识别不能简便分解的情形。
4. 能处理先整理、含参数和实际应用的变式，避免约去未知因式、移项不变号与漏根。
二、重点
• 零积性质与因式分解法的降次过程。
• 根据方程结构选择合适的因式分解方式，并完整保留所有根。
三、难点
• 判断零积性质的适用条件，并在先整理、不可简便分解和参数变化中正确选择或调整方法。
学习支架
零积性质
因式分解法五步链
1. 整理：移项、合并同类项，使方程右边为0
2. 分解：把左边多项式分解成若干一次因式的乘积
3. 降次：依据零积性质，分别令每个因式等于0
4. 求解：解所得一元一次方程，写全所有根
5. 检验：代回原方程；应用题还要检查实际取值范围
漏根写法与完整写法
式子特征与分解策略
四、知识要点
1. 零积性质：降次的逻辑开关
若 ab=0，则 a=0 或 b=0；反过来，只要 a=0 或 b=0，积 ab 就等于0。因式分解法正是先把二次方程改写成“两个一次因式的积等于0”，再把一个二次方程转化为两个一元一次方程。这里最关键的条件是“积等于0”：例如 (x-2)(x+5)=7 的右边不是0，不能直接令 x-2=0 或 x+5=0。还要特别注意，不能为了简便约去含未知数的因式，因为这个因式可能等于0；约去它就会漏根。
2. 五步规范：整理、分解、降次、求解、检验
第一步，把方程所有项移到同一边，使另一边为0，并合并同类项；移项必须变号。第二步，根据结构因式分解：有公因式先提公因式，两个平方的差用平方差公式，完全平方式用完全平方公式，出现相同多项式可把它看成整体公因式。第三步，利用零积性质分别令每个因式为0。第四步，逐个解一元一次方程并写全根。第五步，把每个根代回原方程，左右相等才保留；若是实际问题，还要检查正负、单位和题意限制。
3. 识别边界与选择方法
因式分解法适合能够较快分解的方程，但并非所有一元二次方程都能在实数范围内用熟悉的整式分解迅速处理。看到 x²+bx+c，可以寻找两个数：积为 c、和为 b；找到后可写成 (x-d)(x-h)，找不到时不要硬凑。若方程容易配成平方，配方法可能更简便；若系数较杂且不能明显分解，可改用公式法。由 (x-d)(x-h)=0 可知根为 d、h；反过来，已知两个根也能写出首项系数为1的方程因式形式。
4. 十字相乘：同时配对首项、末项和中间项
对 ax²+bx+c，可把 ax² 的因式与 c 的因式交叉组合，寻找使交叉乘积之和为 bx 的配对。例如 6x²+x-2=(3x+2)(2x-1)，因为首项 3x·2x=6x²，末项 2·(-1)=-2，交叉项 -3x+4x=x。分解完成后必须展开复核，不能只检查首项和末项。若分解成立且方程右边为0，再分别解 3x+2=0 与 2x-1=0。
五、典型例题
【例1】
例1 用因式分解法解方程 x²-9x=0。
【例2】
例2 用因式分解法解方程 3x(2x-1)=4(2x-1)。
【例3】
例3 用因式分解法解方程 (3x-2)²-25=0。
【例4】
例4 用因式分解法解方程 4x²+12x+9=0。
【例5】
例5 用十字相乘法解方程 6x²+x-2=0。
同 步 练 习
因式分解法五步链
1. 整理：移项、合并同类项，使方程右边为0
2. 分解：把左边多项式分解成若干一次因式的乘积
3. 降次：依据零积性质，分别令每个因式等于0
4. 求解：解所得一元一次方程，写全所有根
5. 检验：代回原方程；应用题还要检查实际取值范围
漏根写法与完整写法
★ 基础巩固
1. 判断：由 (x-2)(x+5)=7，可直接得到 x-2=0 或 x+5=0。（________）（ ）
2. 用因式分解法解方程的一般顺序是（________）。
A. 因式分解—移项为0—求一次方程—检验
B. 移项为0—因式分解—分别令因式为0—求解—检验
C. 分别令因式为0—移项为0—因式分解—检验
D. 两边同除以未知因式—求解—检验
3. 用因式分解法解方程 x²-11x=0。
4. 用因式分解法解方程 5y²-20y=0。
5. 用因式分解法解方程 (x+3)²-16=0。
6. 用因式分解法解方程 4x²-12x+9=0。
7. 用十字相乘法解方程 x²+x-12=0。
8. 用十字相乘法解方程 6x²+x-2=0。
9. 先整理，再用因式分解法解方程 2x(x-4)=3x。
10. 先整理，再用整体提公因式法解方程 5x(x+1)=2(x+1)。
11. 解关于 x 的方程 x(x-m)=0，并说明 m=0 时根的情况。
★★ 能力提升
12. 小林解方程 x²=5x 时，两边同除以 x，得到 x=5。请指出错误并写出完整解法。
13. 解方程 (x-2)(x+3)=6。要求说明为什么不能一开始分别令两个因式为0。
14. 关于方程 x²+x+1=0，下列判断正确的是（________）。
A. 可分解为 (x+1)²=0，所以 x=-1
B. 可分解为 x(x+1)=0，所以 x=0 或 x=-1
C. 用整数因式不能简便分解；改用公式法可知在实数范围内无解
D. 可分解为 (x-1)(x+1)=0，所以 x=±1
15. 已知首项系数为1的一元二次方程有两个根 -2 和5，写出它的因式形式和一般形式。
16. 一块长方形劳动实践区的长比宽多5米，面积为84平方米。求它的长和宽。
17. 解关于 x 的方程 x²-(m+2)x+2m=0，并求方程有两个不相等实数根时 m 的取值条件。
★★★ 拓展延伸
18. 解方程 (x+1)²-5(x+1)+6=0。要求把 x+1 看成整体，并在解析末说明所用数学思想。
19. 两个连续正整数的积是90，求这两个正整数。要求列一元二次方程并用因式分解法求解。
20. 先整理，再选择合适的分解方式解方程 3(x-4)²=x²-16，并在解析末说明所用数学思想。
错误：直接约去 x
正确：移项后提因式
x²=5x
两边同除以 x，得 x=5。问题：除以 x 默认了 x≠0，漏掉 x=0。
x²-5x=0
x(x-5)=0
x=0 或 x-5=0
所以 x=0 或 x=5。
式子特征
优先尝试
分解后检查
各项有公因式
提公因式
公因式是否提尽
两个平方的差
平方差公式
两因式一加一减
首尾是平方且中间项匹配
完全平方公式
展开中间项符号
二次三项式
十字相乘
首项、末项、交叉项都一致
不能简便分解
改选配方法或公式法
不硬凑整数因式
错误：直接约去 x
正确：移项后提因式
x²=5x
两边同除以 x，得 x=5。问题：除以 x 默认了 x≠0，漏掉 x=0。
x²-5x=0
x(x-5)=0
x=0 或 x-5=0
所以 x=0 或 x=5。