湘教版（2024）九年级上册（2024）3.2 一元二次方程的解法教课ppt课件

这是一份湘教版（2024）九年级上册（2024）3.2 一元二次方程的解法教课ppt课件PPT课件主要包含了x+3，x-4，x+5，把方程①写成，x22500，因此原方程的解为，一元二次方程的根，和-2，概念学习，解由题意得等内容，欢迎下载使用。
1.根据完全平方公式填空：
( 1 ) x2+6x+9=( )2( 2 ) x2-8x+16=( )2( 3 ) x2+10x+( )2=( )2( 4 ) x2-3x+( )2=( )2
2.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？
由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
消元、化二元一次方程组为一元一次方程
3.你会解方程x2＋6x-16＝0吗?你会将它变成(x＋m)2＝n（n为非负数）的形式吗？试试看．如果是方程2x2＋1＝3x呢？
这表明x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
x1=50，x2 =-50.
问题：一桶油漆可刷的面积为 1500 dm2，小林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
解：设盒子的棱长为 x dm，则一个正方体盒子的表面积为 6x2 dm2．由此可列方程
10×6x2 = 1500，
根据平方根的意义得 x = ±5，
即 x1 = 5，x2 = －5．
∵ 棱长不能为负值，∴ 盒子的棱长为 5 dm．
使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解. 一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.
练一练：下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.
例4 已知 a 是方程 x2 + 2x－2 = 0 的一个实数根，求 2a2 + 4a + 2022 的值.
方法点拨：求代数式的值，先把已知解代入，再注意观察，有时需用到整体思想——求解时，将所求代数式中的某一部分看作一个整体，再将这个整体代入求值.
2.已知关于 x 的一元二次方程 x2 + ax + a = 0 的一个根是 3，求 a 的值.
解：由题意把 x = 3 代入方程 x2 + ax + a = 0，得
32 + 3a + a = 0，
9 + 4a = 0，
1.已知方程 5x² + mx - 6 = 0 的一个根为 4，则 m 的值为
问题1：能化为 (x + m)2 = n(n≥0) 的形式的方程需要具备什么特点？
左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负常数的一元二次方程可化为 (x + m)2 = n(n≥0).
问题2：x2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得 x＝±3，如果 x 换元为 2t＋1，即 (2t＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？
试一试： 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2 = 4
(2) x2 = 0
(3) x2 + 1 = 0
解：根据平方根的意义，得x1 = 2，x2 = -2.
解：根据平方根的意义，得x1 = x2 = 0.
解：根据平方根的意义，得 x2 = -1，因为负数没有平方根，所以原方程无解.
(2) 当 n = 0 时，方程 (I) 有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
(3) 当 n < 0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0 ，所以方程 (I) 无实数根.
一般的，对于可化为 x2 = n (I) 的方程，
(1) 当 n > 0 时，根据平方根的意义，方程 (I) 有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = ；
例2 利用直接开平方法解下列方程：
∴x1 = 30， x2 = －30.
在解方程(I)时，由方程 x2 = 25 得 x = ±5.由此想到: (x + 3)2 = 5 ， ②得
对照上面方法，你认为怎样解方程 (x + 3)2 = 5
于是，方程 ( x + 3 )2 = 5 的两个根为
上面的解法中，由方程②得到③，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程②转化为我们会解的方程了.
例3 解下列方程：(1) (2x＋1)2 = 2 ；
解析：通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程.
解：(1) 根据平方根的意义，得
解析：第 2 小题先将－4 移到方程的右边，再同第 1 小题一样地解.
例3 解下列方程：(2) (x－1)2－4 = 0；
即 x1 = 3，x2 = −1.
解：(2) 移项，得 (x − 1)2 = 4.
∵x − 1 是 4 的平方根，
∴x − 1 = ±2，
(3) 12(3 − 2x)2 − 3 = 0.
解析：先将 −3 移到方程的右边，再将等式两边同时除以 12，再同第 (1) 小题一样地去解.
解：移项，得 12(3 − 2x)2 = 3，
两边都除以 12，得 (3 − 2x)2 = 0.25.
∵ 3 − 2x 是 0.25 的平方根，
∴ 3 − 2x = ±0.5，
即 3 − 2x = 0.5，或 3 − 2x = −0.5.
1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？
如果一个一元二次方程具有 x2 = n 或 (x + m)2 = n (n≥0) 的形式，那么就可以用直接开平方法求解.
2. 任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.
不是所有的一元二次方程都能用直接开平方法求解，如：x2 + 2x - 3 = 0.
D. (2x + 3)2 = 25，解方程，得 2x + 3 =±5，x1= 1，x2= −4
1. 下列解方程的过程中，正确的是（ ）
B. (x − 2)2 = 4，解方程，得 x − 2 = 2，x = 4
(1) 方程 x2 = 0.25 的根是 . (2) 方程 2x2 = 18 的根是 . (3) 方程 (2x - 1)2 = 9 的根是 .
x1＝0.5，x2＝−0.5
3. 解下列方程： (1) x2 − 81＝0； (2) 2x2＝50； (3) (x＋1)2＝4.
解：x1＝9，x2＝−9.
解：x1＝5，x2＝ −5.
解：x1＝1，x2＝−3.
3.若关于 x 的一元二次方程 (m + 2)x2 + 5x + m2 - 4 = 0
有一个根为 0，求 m 的值.
解：将 x = 0 代入方程 m2 - 4 = 0，
∵ m + 2 ≠ 0，
综上所述：m = 2.
思考 1.若 a + b + c = 0，你能通过观察，求出方程ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗?
∴方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)的一个根是 1.
2. 若 a - b + c = 0，4a + 2b + c = 0 ，你能通过观察，求出方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的一个根吗?
x = 2 或 x = -1（写出一个即可）.
拓广探索 已知关于 x 的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)一个根为 1，求 a + b + c 的值.