初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.2 一元二次方程的解法教案及反思

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）3.2 一元二次方程的解法教案及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程；
2.会用公式法解一元二次方程；(重点)
3.会用根的判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用.(难点)
【教学过程】
一、情境导入
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用配方法求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题.
问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)且b2－4ac≥0，试推导它的两个根x1＝eq \f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq \f(－b－\r(b2－4ac),2a).
二、合作探究
探究点一：求根公式
方程3x2－8＝7x化为一般形式是__________，其中a＝________，b＝________，c＝________，方程的根为____________.
解析：将方程移项可化为3x2－7x－8＝0.其中a＝3，b＝－7，c＝－8，因为b2－4ac＝49－4×3×(－8)＝145＞0，代入求根公式可得x＝eq \f(7±\r(145),6).
故答案为：3x2－7x－8＝0，3，－7，－8，eq \f(7±\r(145),6).
方法总结：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的系数a，b，c确定的，只要确定了系数a，b，c的值，代入公式就可求得方程的根.
探究点二：用公式法解一元二次方程
用公式法解下列方程：
(1)－3x2－5x＋2＝0; (2)2x2＋3x＋3＝0；
(3)x2－2x＋1＝0.
解：(1)－3x2－5x＋2＝0，3x2＋5x－2＝0.
∵a＝3，b＝5，c＝－2，
∴b2－4ac＝52－4×3×(－2)＝49＞0，
∴x＝eq \f(－5±\r(49),2×3)＝eq \f(－5±7,6)，
∴x1＝eq \f(1,3)，x2＝－2.
(2)∵a＝2，b＝3，c＝3，
∴b2－4ac＝32－4×2×3＝9－24＝－15＜0，
∴原方程没有实数根.
(3)∵a＝1，b＝－2，c＝1，
∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，
∴x＝eq \f(2±\r(0),2×1)＝eq \f(2±0,2)，
∴x1＝x2＝1.
方法总结：用公式法解一元二次方程时，首先应将其变形为一般形式，然后确定公式中a，b，c的值，再求出b2－4ac的值与“0”比较，最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).
探究点三：根的判别式
【类型一】 用根的判别式判断一元二次方程根的情况
已知一元二次方程x2＋x＝1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2＋x－1＝0.∵b2－4ac＝1－4×1×(－1)＝5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
方法总结：判断一元二次方程根的情况的方法：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0).当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程无实数根.
【类型二】 根据方程根的情况确定字母的取值范围
若关于x的一元二次方程kx2－2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>－1 B.k>－1且k≠0
C.k0，,k≠0.))解得k>－1且k≠0，故选B.
易错提醒：利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况时，容易忽略二次项系数不能等于0这一条件，本题容易误选A.
【类型三】 利用根的判别式判断三角形的形状
已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2eq \r(m)ax＝0有两个相等的实数根，请判断△ABC的形状.
解：将原方程转化为一般形式，得(b＋c)x2－2eq \r(m)ax＋(c－b)m＝0.
∵原方程有两个相等的实数根，
∴(－2eq \r(m)a)2－4(b＋c)(c－b)m＝0，
即4m(a2＋b2－c2)＝0.
又∵m≠0，∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2.
根据勾股定理的逆定理可知△ABC为直角三角形.
方法总结：利用根的判别式判断三角形形状的方法：根据一元二次方程根的情况，利用判别式得到关于一元二次方程系数的等式或不等式，再结合其他条件解题.
【类型四】 利用根的判别式解存在性问题
是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：不存在，理由如下：
假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m