初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）2.3 解直角三角形第3课时课时训练

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本课核心问题
已知直角三角形中的两个元素时，怎样判断能否求解、选哪一种关系最简洁，并确认答案可信？
一、学习目标
1. 理解解直角三角形的含义，能判断给定信息是否足以确定一个直角三角形。
2. 能根据已知边、已知角和所求元素选择正弦、余弦、正切、勾股定理或两锐角互余关系。
3. 能规范求出其余元素，按指定精度写近似值，并用独立关系复核结果。
二、重点
• 由一个锐角和一条边或由两条边求直角三角形的其余元素。
• 依据“已知什么、要求什么”选择最直接的关系。
三、难点
• 相对于指定锐角辨认对边、邻边，并在近似计算中避免过早舍入。
• 选择与原计算不同的关系检验边长和角度。
学习支架
统一字母约定：a=BC，b=AC，c=AB（示意图不按比例）
已知量—所求量关系选择表
解直角三角形五步法
1. 标：写清直角、斜边及指定锐角的对边和邻边
2. 判：确认已知两个元素且至少一个是边，条件不矛盾
3. 选：优先选择只含一个未知量的关系式
4. 算：先保留准确式或计算器内部值，最后按要求取近似值
5. 验：用互余、勾股或另一三角函数复核并规范作答
认边正误对比
四、知识要点
1. 什么是解直角三角形
在 Rt△ABC 中固定∠C=90°，记a=BC、b=AC、c=AB，其中c是斜边。除直角外，三条边和两个锐角共5个元素。由已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。一个直角三角形要能被确定，通常需要已知这5个元素中的2个，并且至少有1个是边。只知道A、B两个锐角，只能确定形状相同的一族三角形，不能确定边长。
2. 三类关系与选关系原则
边与边：a²+b²=c²。角与角：A+B=90°。边与角：sinA=a/c，csA=b/c，tanA=a/b；相对于∠B，则sinB=b/c，csB=a/c，tanB=b/a。选关系时先圈出已知量和目标量，优先选只包含这两个量以及一个未知量的式子。例如已知A和c求a，直接用sinA=a/c；已知A和b求a，直接用tanA=a/b。
3. 五类基本已知条件的完整覆盖
角加边分三类：锐角+斜边、锐角+该角的对边、锐角+该角的邻边；两边分两类：两条直角边、斜边+一条直角边。这五类已知条件覆盖了本课最基本的可解结构。无论属于哪一类，都按“标—判—选—算—验”完成。求角时通常先求一个锐角，另一个用互余关系得到；求边时选择最直接的三角函数或勾股定理，不必每个未知量都另起一条复杂计算。
4. 近似值、合理性与复核
若题目要求近似值，应先写准确关系式，把计算器中间值保留到最后一步，再统一按要求四舍五入。角精确到1°表示取整度数；边长精确到0.1表示保留一位小数。复核至少选择一条独立路径：角度检查A+B是否为90°；边长检查a²+b²是否约等于c²；也可把求得的边代入另一三角函数，检查所得比值是否与已知角相符。近似答案因舍入允许出现很小误差，但斜边必须最长、边长必须为正。
五、典型例题
【例1】
例1 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=BC=6，∠A=30°。求∠B、b、c，结果保留准确值。
【例2】
例2 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=7，b=9。求c、∠A、∠B。边长精确到0.1，角精确到1°。
【例3】
例3 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=13，a=5。求b、∠A、∠B。边长保留准确值，角精确到0.1°。
【例4】
例4 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，csA=3/5，a=16。求b、c、∠A、∠B。边长保留准确值，角精确到0.1°。
同 步 练 习
统一字母约定：a=BC，b=AC，c=AB（示意图不按比例）
已知量—所求量关系选择表
解直角三角形五步法
1. 标：写清直角、斜边及指定锐角的对边和邻边
2. 判：确认已知两个元素且至少一个是边，条件不矛盾
3. 选：优先选择只含一个未知量的关系式
4. 算：先保留准确式或计算器内部值，最后按要求取近似值
5. 验：用互余、勾股或另一三角函数复核并规范作答
★ 基础巩固
1. 1．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=12，∠A=35°。若要直接求a，应选择（________）。随后求出a、b、∠B，边长精确到0.1。
A．tanA=a/b B．sinA=a/c
C．csA=b/c D．a²+b²=c²
2. 2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，a=8。求b、c、∠B，结果保留准确值。
3. 3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，b=7。求a、c、∠B，结果保留准确值。
4. 4．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，c=20。求a、b、∠A，结果保留准确值。
5. 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=8，b=15。求c、∠A、∠B，边长保留准确值，角精确到0.1°。
6. 6．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，c=15。求b、∠A、∠B，边长保留准确值，角精确到0.1°。
7. 7．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，b=12，c=13。求a、∠A、∠B，边长保留准确值，角精确到0.1°。
8. 8．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=40°，b=11。求a、c、∠B，边长精确到0.1。
9. 9．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=10，∠A=30°。小明写“b=10sin30°=5”，并据此得到a=5√3。这个解法正确吗？判断后求出a、b、∠B，结果保留准确值。（ ）
10. 10．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=6，b=8。求c、∠A、∠B，角精确到0.1°；并检验“c=14”这一结果是否可能。
★★ 能力提升
11. 11．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，b=12。求c、∠A、∠B，角精确到0.1°。比较“先求c再用正弦”和“直接用正切”两条求角路线。
12. 12．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=10，c=26。求b、∠A、∠B，边长保留准确值，角精确到0.1°。
13. 13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=52°，a=14。求b、c、∠B，边长精确到0.1。要求中间过程不提前舍入。
14. 14．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，tanA=3/4，b=20。求a、c、∠A、∠B，边长保留准确值，角精确到0.1°。
坐标中的 Rt△ABC
15. 15．在平面直角坐标系中，A(0,6)、B(8,0)、C(0,0)，连接AB、BC、CA。已知AC⊥BC，因此△ABC是以C为直角顶点的直角三角形。求a、b、c、∠A、∠B，角精确到0.1°；并在图中标出斜边。
16. 16．一块三角形硬纸板记为 Rt△ABC，∠C=90°，斜边AB=c=25 cm，∠A=37°。求直角边a、b和∠B，边长精确到0.1 cm。
17. 17．都在 Rt△ABC、∠C=90° 的前提下，判断下列数据属于“信息不足”“可以求解”还是“条件矛盾”；对可以求解的两组求出全部其余元素。（Ⅰ）∠A=42°，∠B=48°；（Ⅱ）∠A=42°，c=15；（Ⅲ）a=9，b=12；（Ⅳ）a=9，c=8。第Ⅱ组边长精确到0.1，第Ⅲ组角精确到0.1°。
★★★ 拓展延伸
18. 18．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，斜边c=20，并且“两条直角边中有一条长10”，但没有说明是a还是b。分类求出所有可能的a、b、∠A、∠B，边长保留准确值。
坐标轴上的 Rt△OMN
19. 19．在平面直角坐标系中，O(0,0)、M(6,0)，点N在y轴正半轴上，连接MN。已知△OMN为直角三角形，∠MON=90°，∠OMN=30°。求△OMN的其余边和角，并求直线MN的表达式，结果保留准确值。
已知条件
优先求法
随后求法
可用检验
一个锐角+斜边c
a=c·sinA，b=c·csA
B=90°−A
a²+b²=c²
一个锐角+对边a
c=a/sinA 或 b=a/tanA
B=90°−A
另一三角函数或勾股
一个锐角+邻边b
c=b/csA 或 a=b·tanA
B=90°−A
另一三角函数或勾股
两条直角边a、b
c=√(a²+b²)
A=arctan(a/b)，B=90°−A
sinA=a/c
斜边c+一条直角边
勾股定理求另一边
用反三角函数求锐角
另一三角函数与互余
错误
正确
已知∠A与斜边c时，不看图就写b=c·sinA。
相对于∠A，a是对边、b是邻边，所以a=c·sinA，b=c·csA。
已知条件
优先求法
随后求法
可用检验
一个锐角+斜边c
a=c·sinA，b=c·csA
B=90°−A
a²+b²=c²
一个锐角+对边a
c=a/sinA 或 b=a/tanA
B=90°−A
另一三角函数或勾股
一个锐角+邻边b
c=b/csA 或 a=b·tanA
B=90°−A
另一三角函数或勾股
两条直角边a、b
c=√(a²+b²)
A=arctan(a/b)，B=90°−A
sinA=a/c
斜边c+一条直角边
勾股定理求另一边
用反三角函数求锐角
另一三角函数与互余