初中湘教版（2024）3.2 一元二次方程的解法第3课时随堂练习题

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本课核心问题
面对任意一个具体的一元二次方程，怎样把“化一般式—辨系数—算判别式—代公式—化简—检验”连成一条可靠的求解链？
一、学习目标
1. 理解求根公式由配方法推导的关键步骤，能说明公式中 a≠0 和 b²−4ac≥0 的必要性。
2. 掌握公式法的规范步骤，能先化一般式并准确辨认含符号的 a、b、c。
3. 能够正确计算判别式、代入求根公式、化简二次根式，并把所得根代回原方程检验。
4. 能够在黄金分割等具体情境中建立一元二次方程，并依据实际限制筛选合理的根。
二、重点
• 求根公式 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a) 的结构、成立条件和规范使用步骤。
• 一般式整理、系数辨认、判别式计算、公式代入与根式化简的连续书写。
三、难点
• 理解公式推导中的配方与开平方，并在负系数、缺项、非一般式方程中保持符号和整体分式准确。
• 区分“代数上是方程的根”和“符合实际情境的答案”。
学习支架
一元二次方程的求根公式
公式法六步自查链
1. 化：把方程整理为 ax²+bx+c=0（a≠0）
2. 辨：连同正负号写出 a、b、c
3. 判：计算 Δ=b²−4ac，并判断能否在实数范围内开平方
4. 代：把 a、b、c 代入 x=[−b±√Δ]/(2a)
5. 化：先化根式，再约分，分别写出两个根
6. 验：代回原方程；有情境时再检查取值限制
符号与整体结构对比
判别式与公式法结果
四、知识要点
1. 从配方法推导求根公式
从一般的一元二次方程开始：ax²+bx+c=0（a≠0）。因为 a≠0，方程两边同除以 a，得：x²+(b/a)x+c/a=0。把常数项移到右边，得：x²+(b/a)x=−c/a。为了把左边配成完全平方式，两边同时加上 [b/(2a)]²，得：x²+(b/a)x+[b/(2a)]²=[b/(2a)]²−c/a。左边配方、右边通分，得：[x+b/(2a)]²=(b²−4ac)/(4a²)。为了避免对 √(4a²) 的符号产生误解，把等式两边同乘 4a²，可写成：(2ax+b)²=b²−4ac。当 b²−4ac≥0 时，根据平方根的意义，得：2ax+b=±√(b²−4ac)。移项，得：2ax=−b±√(b²−4ac)。因为 a≠0，所以 2a≠0，两边同除以 2a，得：x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)。这说明求根公式是配方法对一般方程的统一结果。a≠0 保证原方程确为一元二次方程，也保证能够除以 a；b²−4ac≥0 保证在实数范围内能够开平方。理解配方项时，可以抓住“半系数的平方”：一次项系数是 b/a，它的一半是 b/(2a)，平方后正是 [b/(2a)]²。这个量必须在等式两边同时添加，才能保持方程同解。右边通分后出现 b²−4ac，并不是人为规定，而是一般配方过程中自然形成的量。开平方得到正、负两种可能，正是公式中“±”的来源；若只取一个符号，就会在判别式大于0时漏掉一个实数根。
2. 公式的结构与系数辨认
求根公式是 x=[−b±√(b²−4ac)]/(2a)。其中根号内是完整的 b²−4ac，分子是完整的 −b±√(b²−4ac)，分母是完整的 2a。“±”表示要分别取加号和减号，通常得到 x₁、x₂ 两个结果。辨认系数前必须先把方程写成 ax²+bx+c=0，并按 x 的降幂排列。系数必须连同前面的符号一起读取。例如 3x²−5x−7=0 中 a=3，b=−5，c=−7；−x²+6=0 中 a=−1，b=0，c=6。缺少一次项不表示 b 不存在，而是 b=0；缺少常数项则 c=0。
3. 公式法的规范操作与检验
完整书写依次包含六步：化一般式、辨认系数、计算判别式、代入公式、化简、检验。判别式记作 Δ=b²−4ac。若 Δ>0，分别取正负号得到两个不相等的实数根；若 Δ=0，两个结果相同，规范写作 x₁=x₂=−b/(2a)；若 Δ0。x=[−b±√Δ]/(2a)
=[−5±√49]/[2×(−3)]
=(−5±7)/(−6)。取“+”号：x₁=(−5+7)/(−6)=2/(−6)=−1/3。取“−”号：x₂=(−5−7)/(−6)=(−12)/(−6)=2。检验 x=−1/3：−3×(−1/3)²+5×(−1/3)+2
=−1/3−5/3+2
=−2+2
=0。检验 x=2：−3×2²+5×2+2=−12+10+2=0。所以原方程的根为 x₁=−1/3，x₂=2。
【点拨】易错写法是把分母写成6，或只让 √49 除以 −6。规范做法是保留 [−5±7]/(−6) 的整体结构，再分别化简。
【例5】
例5 线段 AB 长10，点 C 在线段 AB 上。设 AC=x，BC=10−x，且 AC/AB=BC/AC。求 AC 的长及 AC/AB 的近似值。
【解答】由题意，00。x=[−b±√Δ]/(2a)
=[−10±√500]/2
=[−10±10√5]/2
=−5±5√5。所以 x₁=5(√5−1)，x₂=−5(√5+1)。因为 00。x=[−(−7)±5]/4=(7±5)/4。x₁=3，x₂=1/2。代入 x=3：2×3²−7×3+3=18−21+3=0。代入 x=1/2：2×(1/2)²−7×(1/2)+3=1/2−7/2+3=0。两个候选根都正确，而且公式法只得到这两个根，所以候选根完整。
【解析】检验不仅确认每个数满足方程，还要对照公式法所得的全部结果，避免漏根。
第16题：错误在于常数项是 −8，不是8。a=1，b=2，c=−8。Δ=2²−4×1×(−8)=4+32=36>0。x=(−2±6)/2。x₁=2，x₂=−4。检验 x=2：2²+2×2−8=0。检验 x=−4：(−4)²+2×(−4)−8=16−8−8=0。所以原方程有两个实数根2和−4。
【解析】判别式的正负会被 c 的符号直接影响。把系数连符号抄写后，再用代回结果反查结论。
第17题：方程两边同乘2，得 x²−3x−4=0。因为乘数2≠0，所得方程与原方程同解。a=1，b=−3，c=−4。Δ=(−3)²−4×1×(−4)=9+16=25>0。x=[−(−3)±5]/2=(3±5)/2。x₁=4，x₂=−1。检验原方程：x=4 时，8−6−2=0；x=−1 时，1/2+3/2−2=0。所以原方程的根为4和−1。
【解析】先去分母能减少分数运算，但必须说明两边同乘的是非零数，因此不改变方程的解。
第18题：由 0