初中湘教版（2024）3.5 一元二次方程的应用随堂练习题

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本课核心问题
怎样把情境中的“变化着的两个量”表示出来，并判断一元二次方程的根能不能回答原问题？
一、学习目标
1. 能从百分率、利润、面积、相邻数和动点情境中找出等量关系，建立一元二次方程
2. 能规范完成设元、列方程、求解、检验、舍根和作答，并说明舍根违反了哪一条实际约束
3. 能判断两个方程根是否可能对应两种真实方案，并根据题目中的决策条件作出选择
二、重点
• 用含未知数的代数式表示两个相互关联的量，并据等量关系列一元二次方程
• 根据百分率、长度、时间、数量、政策限价等实际范围筛选方程根
三、难点
• 从图、表和文字中识别乘积型数量关系；区分“代数根”“实际解”和“最符合决策要求的方案”
学习支架
一元二次方程建模六步检查表
1. 设元：写清未知数表示什么、单位是什么，并给出取值范围
2. 表示：用未知数表示其余相关量
3. 列方程：先写等量关系，再代入代数式
4. 求解：化为一般形式，求出全部代数根
5. 检验与舍根：代回方程，再核对正负、大小、单位和情境限制
6. 作答：用带单位的完整语句回答原问题
常见一元二次方程实际模型
“解出根”与“得到答案”不是一回事
剪角折盒：外纸板与盒底的对应关系
四、知识要点
1. 1. 建模不是“见数列式”，而是翻译数量关系
第一步要说明x表示什么以及它的单位。例如“设道路宽为x m”比“设x”完整。第二步把其他量表示出来，例如新矩形的长为(32−x)m、宽为(20−x)m。第三步先写等量关系“绿化面积=新矩形的长×宽”，再代入列方程。求出根后要做两层检验：一是代回方程，确认计算无误；二是回到情境核对x的范围。只有两层都通过，才能作答。
2. 2. 连续变化用倍率连乘
若初始量为a，连续两期的平均增长率为x，则第一期末为a(1+x)，第二期末为a(1+x)²；平均降低率为x时，第二期末为a(1−x)²。这里的x是小数，例如10%=0.1。降低率不能大于或等于100%，否则第一期后的实际量会变成0或负数。两期总增长率不是简单的2x，因为第二期是在第一期变化后的量上继续变化。
3. 3. 利润与相邻数都是“两个一次式的乘积”
利润模型的核心是“(售价−进价)×销量=总利润”。当降价x元时，单件利润往往减少，而销量增加，两个因子都含x。相邻正整数可设为x与x+1；日历同一行相邻日期相差1、同一列上下相差7。先把结构写对，再列乘积方程。若两个根都符合实际，还要保留两个方案，除非题目另有“尽可能让利”“数量最多”等选择条件。
4. 4. 面积模型先把不规则区域转化为规则图形
剪角折盒时，若四角剪去边长x的正方形，盒底长、宽都各减少2x。矩形地面上有一横一纵、宽均为x的道路时，可把剩余区域平移拼成长为“原长−x”、宽为“原宽−x”的矩形，避免重复扣除交叉处。任何面积方程都要同时记录边长限制，例如剪角时0