湘教版（2024）九年级上册（2024）3.4 一元二次方程根与系数的关系第四课时达标测试

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本课核心问题
怎样在不直接求出两个根的情况下，用系数控制关于两根的计算，并从根的条件反推方程或参数？
一、学习目标
1. 理解并能逐行说明：当 a≠0、Δ≥0，方程 ax²+bx+c=0 的两个实根 x₁、x₂ 满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
2. 能够先把方程整理成一般形式并判断实根情况，再不解方程求两根的和、积及常见对称式。
3. 能够由两根的和与积构造一元二次方程，并用根关系解决含参数问题，做到分类完整、结果可检验。
二、重点
• 韦达定理的公式、成立条件及规范使用顺序。
• 用 S=x₁+x₂、P=x₁x₂ 整体表示对称式，并由 S、P 逆向构造方程。
三、难点
• 含参数或附加根关系时，既要完整分类，又要检查 a≠0、Δ≥0、分母非零及原题附加条件。
学习支架
从具体方程观察根的和与积
韦达定理（实数范围）
负号与标准式易错对比
根与系数关系的五步使用法
1. 整理：化为 ax²+bx+c=0，并确认 a≠0
2. 验根：计算 Δ=b²-4ac，确认 Δ≥0；含倒数时再确认 c/a≠0
3. 设元：记 S=x₁+x₂=-b/a，P=x₁x₂=c/a
4. 转化：把目标式或根条件改写成只含 S、P 的式子
5. 复核：构造方程查判别式；参数题逐个代回原方程和附加条件
常见对称式转化表
四、知识要点
1. 韦达定理从哪里来，什么时候能用
设 ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实根 x₁、x₂，即 Δ=b²-4ac≥0。由因式分解可写成：ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)
=a[x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂]
=ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x₂。比较一次项系数：-a(x₁+x₂)=b，所以 x₁+x₂=-b/a。比较常数项：ax₁x₂=c，所以 x₁x₂=c/a。当 Δ=0 时，x₁=x₂，仍把重根按两个相等的根计，公式仍成立。若 Δ0，确有两个不相等实根。因此 x₁+x₂=-(-3)/1=3，x₁x₂=-8/1=-8。不能从原式左边直接把 c 读成2，因为一般式要求等号右边为0。
3. 由和、积计算对称式
把 S=x₁+x₂、P=x₁x₂ 当作两个整体。常见变形必须写出依据：x₁²+x₂²
=(x₁+x₂)²-2x₁x₂
=S²-2P。(x₁-x₂)²
=(x₁+x₂)²-4x₁x₂
=S²-4P。若 P≠0，则
1/x₁+1/x₂
=(x₁+x₂)/(x₁x₂)
=S/P。关键不是分别求根，而是识别交换 x₁、x₂ 后不变的结构，并整体代换。
4. 由根关系构造方程
若两个数的和为 S、积为 P，则以这两个数为根、首项系数为1的方程为：x²-Sx+P=0。因为 (x-x₁)(x-x₂)=x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=x²-Sx+P。该方程乘任意非零常数后根不变，所以若题目没有限定首项系数，可得到一族等价方程；通常写最简整系数方程。题目若强调两个实根，还要检查 Δ=S²-4P≥0。
5. 参数问题与完整检验
参数题先写原方程成为一元二次方程的条件，再判断实根条件。已知一个根时，可把该根代入原方程求参数，也可同时利用 S、P 求另一根；两种方法可以互相检验。若附加条件是“一根是另一根的2倍”，必须考虑 x₁=2x₂ 与 x₂=2x₁ 两类，或把无序的两根写成 t、2t。得到参数候选值后，要逐个代回检查：二次项系数是否非零、Δ是否非负、根是否满足正负或倍数等附加条件。
五、典型例题
【例1】
例1 设方程 ax²+bx+c=0 中 a≠0、Δ=b²-4ac≥0，两个实根为 x₁、x₂。请从因式分解出发推导 x₁+x₂ 与 x₁x₂，并说明 Δ=0 时结论是否成立。
【解答】因为 a≠0 且 Δ≥0，所以方程有两个实根（可以相等）x₁、x₂。由因式分解，ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂)。展开右边：a(x-x₁)(x-x₂)
=a[x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂]
=ax²-a(x₁+x₂)x+ax₁x₂。比较等式两边一次项系数：-a(x₁+x₂)=b。两边同除以非零数 -a：x₁+x₂=-b/a。比较常数项：ax₁x₂=c。两边同除以非零数 a：x₁x₂=c/a。当 Δ=0 时，方程有两个相等实根 x₁=x₂，上述因式分解写成 a(x-x₁)²，系数比较仍成立。
【点拨】公式不是无条件口诀。先说 a≠0、Δ≥0，再通过一次项和常数项的系数比较锁定负号。
【例2】
例2 方程 3x²+2x-5=0 的两个实根为 x₁、x₂。不解方程，求：（1）x₁+x₂ 与 x₁x₂；（2）x₁²+x₂²；（3）1/x₁+1/x₂。
【解答】先确认条件：a=3≠0。Δ=2²-4×3×(-5)
=4+60
=64>0，方程有两个不相等实根。记 S=x₁+x₂，P=x₁x₂。由韦达定理：S=-2/3，P=-5/3。（1）x₁+x₂=-2/3，x₁x₂=-5/3。（2）x₁²+x₂²
=(x₁+x₂)²-2x₁x₂
=S²-2P
=(-2/3)²-2×(-5/3)
=4/9+10/3
=4/9+30/9
=34/9。（3）因为 P=-5/3≠0，所以 x₁、x₂ 都不为0。1/x₁+1/x₂
=(x₁+x₂)/(x₁x₂)
=S/P
=(-2/3)÷(-5/3)
=2/5。
【点拨】出现倒数先由 P≠0 确认两个根都非零；平方和先配出 S²，再减去多出的 2P。
【例3】
例3 两个实数 α、β 满足 α+β=-1，αβ=-6。构造一个以 α、β 为根且首项系数为1的一元二次方程，并检验该方程确有两个实根。
【解答】已知两根和 S=-1，两根积 P=-6。以 α、β 为根的首一方程为：x²-Sx+P=0。代入 S、P：x²-(-1)x+(-6)=0，即 x²+x-6=0。检验实根条件：Δ=1²-4×1×(-6)
=1+24
=25>0，所以该方程确有两个不相等实根。进一步因式分解：x²+x-6
=(x-2)(x+3)，两根为2和-3，它们的和为-1、积为-6，与已知一致。
【点拨】构造式中一次项系数是 -S，不是 S；“构造完成”后还要用 Δ 或实际根复核。
【例4】
例4 已知关于 x 的方程 2x²-(m+1)x+m-3=0 的一个根为2，求 m 和另一个根，并用代入法检验。
【解答】二次项系数恒为2≠0，原式始终是一元二次方程。把已知根 x=2 代入原方程：2×2²-(m+1)×2+m-3=0，8-2m-2+m-3=0，3-m=0，所以 m=3。把 m=3 代回原方程：2x²-4x=0，2x(x-2)=0，所以两根为0和2。已知一个根为2，因此另一个根为0。再用根与系数关系复核：当 m=3 时，S=(m+1)/2=2，P=(m-3)/2=0。2+0=2，2×0=0，与 S、P 一致；且 Δ=(-4)²-4×2×0=16>0，条件满足。
【点拨】已知具体根时，先代入求参数最直接；再用和、积或因式分解作独立检验。
【例5】
例5 方程 x²-(k+2)x+2k=0 的两个实根为 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²=10。求 k，并逐个检验。
【解答】先判断有根条件：Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k
=(k+2)²-8k
=k²-4k+4
=(k-2)²≥0。因此任意实数 k 都有两个实根（可以相等）。由韦达定理：S=x₁+x₂=k+2，P=x₁x₂=2k。利用平方和：x₁²+x₂²
=S²-2P
=(k+2)²-4k
=k²+4。由题意：k²+4=10，k²=6，所以 k=√6 或 k=-√6。逐个检验：当 k=√6 或 k=-√6 时，Δ=(k-2)²≥0，原方程二次项系数为1；并且 x₁²+x₂²=k²+4=6+4=10。所以两个值都符合题意。
【点拨】参数出现两个候选值时不能只报“±”。要把每个值放回判别式和原附加等式中检查。
【例6】
例6（拓展） 方程 x²-5x+3=0 的两个实根为 x₁、x₂。令 y₁=x₁+1/x₁，y₂=x₂+1/x₂，构造以 y₁、y₂ 为根的整系数一元二次方程。
【解答】先确认原根及分母条件：Δ=(-5)²-4×1×3
=25-12
=13>0，原方程有两个不相等实根。P=x₁x₂=3≠0，所以 x₁、x₂ 都不为0，y₁、y₂ 有意义。由韦达定理：S=x₁+x₂=5，P=x₁x₂=3。先求新两根的和：y₁+y₂
=x₁+x₂+1/x₁+1/x₂
=S+S/P
=5+5/3
=20/3。再求新两根的积：y₁y₂
=(x₁+1/x₁)(x₂+1/x₂)
=x₁x₂+x₁/x₂+x₂/x₁+1/(x₁x₂)。其中：x₁/x₂+x₂/x₁
=(x₁²+x₂²)/(x₁x₂)
=(S²-2P)/P
=(25-6)/3
=19/3。所以：y₁y₂
=3+19/3+1/3
=29/3。以 y₁、y₂ 为根的首一方程为：y²-(20/3)y+29/3=0。两边同乘3，得整系数方程：3y²-20y+29=0。检验：新方程的判别式为 (-20)²-4×3×29=52>0，确有两个实根。数学思想：把复杂的新根分别视为整体，先求“新和、新积”，再用方程思想构造新方程；核心是整体代换与转化化归。
【点拨】不要急于求出 x₁、x₂。先围绕 y₁+y₂、y₁y₂ 组织计算，能显著减少根式运算。
同 步 练 习
韦达定理（实数范围）
负号与标准式易错对比
根与系数关系的五步使用法
1. 整理：化为 ax²+bx+c=0，并确认 a≠0
2. 验根：计算 Δ=b²-4ac，确认 Δ≥0；含倒数时再确认 c/a≠0
3. 设元：记 S=x₁+x₂=-b/a，P=x₁x₂=c/a
4. 转化：把目标式或根条件改写成只含 S、P 的式子
5. 复核：构造方程查判别式；参数题逐个代回原方程和附加条件
常见对称式转化表
★ 基础巩固
1. 1. 方程 x²+x+1=0 的两个实根为 x₁、x₂，因此 x₁+x₂=-1，x₁x₂=1。（先判断实根条件，再判断正误）（ ）
2. 2. 方程 2x²-7x+3=0 的两个实根为 x₁、x₂。先计算 Δ，再填空：Δ=（________），x₁+x₂=（________），x₁x₂=（________）。
3. 3. 方程 3x²+4=5x 的实根为 x₁、x₂。请先整理并判断是否存在实根；若存在再求 x₁+x₂、x₁x₂。
4. 4. 方程 4x²+4x+1=0 的两个实根为 x₁、x₂。先判断根的情况，再求 x₁+x₂ 与 x₁x₂，并用重根直接核对。
5. 5. 方程 x²-8x+12=0 的两个实根为 x₁、x₂。先确认 Δ≥0，则 x₁²+x₂²=（________）。
6. 6. 方程 2x²+x-6=0 的两个实根为 x₁、x₂。先确认实根条件，则 (x₁-x₂)²=（________）。
7. 7. 方程 x²-3x-2=0 的两个实根为 x₁、x₂。先确认 x₁x₂≠0，则 1/x₁+1/x₂=（________）。
8. 8. 两个实数根的和为6、积为5。下列以这两个数为根且首项系数为1的方程是（________）。先检查所选方程是否有实根。
A. x²+6x+5=0 B. x²-6x+5=0
C. x²+5x+6=0 D. x²-5x+6=0
9. 9. 只要给出两个实数 S、P，方程 x²-Sx+P=0 就一定有两个实根，它们的和为 S、积为 P。（判断正误并给出反例）（ ）
10. 10. 已知方程 x²+px-6=0 的一个根为 -2。求另一个根和参数 p，并检验方程的实根条件。
★★ 能力提升
11. 11. 方程 2x²-3x-2=0 的两个实根为 x₁、x₂。不解方程，求 x₁²x₂+x₁x₂²。
12. 12. 关于 x 的方程 x²+(m-2)x-9=0 的两个实根互为相反数，则 m 的值为（________）。
A. -2 B. 0
C. 2 D. 9
13. 13. 方程 x²-4x+1=0 的两个实根为 x₁、x₂。令 y₁=2x₁，y₂=2x₂。构造以 y₁、y₂ 为根且首项系数为1的方程，并检验。
14. 14. 关于 x 的方程 x²-(k+2)x+2k=0 的两个实根中，一个根是另一个根的2倍。求 k，并完整检验所有情况。
15. 15. 对方程 2x²+5x-3=0，学生甲写“Δ=49>0，所以 x₁+x₂=5/2，x₁x₂=3/2”。请指出每处符号错误，写出正确结果并检验。
16. 16. 关于 x 的方程 x²-(m+1)x+m=0 的两个实根为 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²=13。求 m，并逐个检验。
★★★ 拓展延伸
17. 17. 关于 x 的方程 x²-(m+2)x+2m=0 有两个不相等的正整数根，且两根之差的绝对值为3。求 m，并写出两个根。
18. 18. 方程 x²-6x+2=0 的两个实根为 x₁、x₂。令 y₁=x₁+1/x₁，y₂=x₂+1/x₂。构造以 y₁、y₂ 为根的最简整系数方程。
19. 19. 关于 x 的方程 x²-(t+1)x+t-2=0 的两个实根为 x₁、x₂。令 y₁=x₁²，y₂=x₂²。（1）用 t 表示以 y₁、y₂ 为根且首项系数为1的方程；（2）若 y₁=y₂，求 t 并检验。
参 考 答 案
第1题：×
【解析】a=1≠0，但 Δ=1²-4×1×1=-30。由韦达定理，x₁+x₂=-(-7)/2=7/2，x₁x₂=3/2。
第3题：整理得 3x²-5x+4=0；Δ=-230。S=-1/2，P=-3。(x₁-x₂)²=S²-4P=(-1/2)²-4×(-3)=1/4+12=49/4。
第7题：-3/2
【解析】Δ=(-3)²-4×1×(-2)=17>0，S=3，P=-2≠0。1/x₁+1/x₂=S/P=3/(-2)=-3/2。
第8题：B
【解析】由 x²-Sx+P=0，代入 S=6、P=5，得 x²-6x+5=0。其 Δ=36-20=16>0，确有两个实根。
第9题：×
【解析】由和积构造出的代数方程始终存在，但要让它在实数范围有两个根，还必须满足 S²-4P≥0。S=1、P=1 不满足该条件。
第10题：另一个根为3，p=-1。
【解析】二次项系数为1≠0。设另一个根为 r。由两根积：(-2)r=-6，r=3。由两根和：-2+3=-p，1=-p，p=-1。代回得 x²-x-6=0=(x+2)(x-3)，两根为-2、3；Δ=(-1)²-4×1×(-6)=25>0，符合题意。
第11题：-3/2
【解析】先验根：Δ=(-3)²-4×2×(-2)=25>0。由韦达定理：S=x₁+x₂=3/2，P=x₁x₂=-1。原式逐行化简：x₁²x₂+x₁x₂²
=x₁x₂(x₁+x₂)
=PS
=(-1)×3/2
=-3/2。
第12题：C
【解析】先验根：Δ=(m-2)²+36>0，对任意实数 m 都有两个不相等实根。互为相反数说明 x₁+x₂=0。由韦达定理：x₁+x₂=-(m-2)=2-m。所以 2-m=0，m=2。代回得 x²-9=0，两根为3和-3，确实互为相反数。
第13题：y²-8y+4=0。
【解析】原方程 Δ=(-4)²-4×1×1=12>0，有两个不相等实根。S=x₁+x₂=4，P=x₁x₂=1。新两根的和：y₁+y₂=2x₁+2x₂=2S=8。新两根的积：y₁y₂=(2x₁)(2x₂)=4P=4。所以所求方程为：y²-8y+4=0。检验：Δᵧ=(-8)²-4×1×4=48>0；新方程两根和为8、积为4，与计算一致。
第14题：1，4
【解析】先判断实根条件：Δ=[-(k+2)]²-4×1×2k
=(k+2)²-8k
=(k-2)²≥0，任意实数 k 都有实根。原方程可因式分解：x²-(k+2)x+2k
=(x-k)(x-2)。所以两个根是 k 和2。由于根的次序不固定，分两类：第一类：k 是2的2倍。k=2×2=4。此时两根为4、2，满足4=2×2。第二类：2是 k 的2倍。2=2k，k=1。此时两根为1、2，满足2=2×1。检验：k=4 时 Δ=4>0；k=1 时 Δ=1>0，两个方程均为一元二次方程且倍数关系成立。所以 k=1 或 k=4。
第15题：正确结果为 x₁+x₂=-5/2，x₁x₂=-3/2；两根为1/2和-3。
【解析】先确认：a=2≠0，Δ=5²-4×2×(-3)=49>0。和的公式含相反数：x₁+x₂=-b/a=-5/2。积没有额外负号，但 c 本身是-3：x₁x₂=c/a=-3/2。因式分解检验：2x²+5x-3
=(2x-1)(x+3)。所以两根为1/2和-3。核对：1/2+(-3)=-5/2，(1/2)×(-3)=-3/2。
第16题：2√3，-2√3
【解析】先判断实根条件：Δ=[-(m+1)]²-4m
=(m+1)²-4m
=(m-1)²≥0。所以任意实数 m 都有两个实根（可以相等）。由韦达定理：S=m+1，P=m。于是：x₁²+x₂²
=S²-2P
=(m+1)²-2m
=m²+1。由题意：m²+1=13，m²=12，m=2√3 或 m=-2√3。检验：两个候选值都使 Δ=(m-1)²≥0，且 m²+1=12+1=13，均符合题意。
第17题：m=5，两根为2和5。
【解析】先分解原方程：x²-(m+2)x+2m
=(x-m)(x-2)。所以两个根为 m 和2。要有两个不相等实根，需 m≠2；从判别式看：Δ=(m+2)²-8m
=(m-2)²>0，也得到 m≠2。两根之差的绝对值为3：|m-2|=3。分类：若 m-2=3，则 m=5；根为5和2，都是正整数。若 m-2=-3，则 m=-1；根为-1和2，不全为正整数，舍去。所以 m=5，两根为2和5。检验：当 m=5 时，原方程为 x²-7x+10=0=(x-2)(x-5)，Δ=9>0，两根均为正整数且差为3。数学思想：把参数条件转化为根的分类讨论，再用方程的因式分解和附加条件筛选；体现分类讨论与方程思想。
第18题：2y²-18y+37=0。
【解析】先检查原根及分母：Δ=(-6)²-4×1×2=28>0，有两个不相等实根。S=x₁+x₂=6，P=x₁x₂=2≠0，所以 x₁、x₂ 均不为0。新两根之和：y₁+y₂
=S+S/P
=6+6/2
=9。新两根之积：y₁y₂
=P+(x₁²+x₂²)/P+1/P。又：x₁²+x₂²
=S²-2P
=36-4
=32。所以：y₁y₂
=2+32/2+1/2
=2+16+1/2
=37/2。以 y₁、y₂ 为根的首一方程为：y²-9y+37/2=0。两边同乘2，得到最简整系数方程：2y²-18y+37=0。检验新方程：Δᵧ=(-18)²-4×2×37
=324-296
=28>0。数学思想：不求原根，先把 y₁、y₂ 整体代换为“新和、新积”，再用方程思想构造新方程；体现整体代换与转化化归。
第19题：（1）y²-(t²+5)y+(t-2)²=0；（2）t=-1。
【解析】先检查原方程的实根情况：Δ=[-(t+1)]²-4(t-2)
=(t+1)²-4t+8
=t²-2t+9
=(t-1)²+8>0。所以任意实数 t 都有两个不相等实根。由韦达定理：S=x₁+x₂=t+1，P=x₁x₂=t-2。（1）新两根的和：y₁+y₂
=x₁²+x₂²
=S²-2P
=(t+1)²-2(t-2)
=t²+5。新两根的积：y₁y₂
=x₁²x₂²
=P²
=(t-2)²。所以所求方程为：y²-(t²+5)y+(t-2)²=0。（2）因为原方程的两个实根不相等，而 y₁=y₂，即 x₁²=x₂²，所以只能有 x₁=-x₂。于是 S=x₁+x₂=0，t+1=0，t=-1。代回原方程：x²-3=0，两根为 √3 和 -√3；它们不相等，但平方都为3，所以 y₁=y₂=3。再检验新方程：当 t=-1 时，y²-6y+9=0，即 (y-3)²=0，确有 y₁=y₂=3。数学思想：先整体构造“平方后的新根方程”，再把 y₁=y₂ 转化为 x₁²=x₂²；结合原根互异完成分类，体现整体代换、分类讨论与方程思想。方程
两个实根 x₁、x₂
x₁+x₂
x₁x₂
-b/a 与 c/a
x²+2x=0
0，-2
-2
0
-b/a=-2，c/a=0
x²-4x+4=0
2，2
4
4
-b/a=4，c/a=4
x²-5x+6=0
2，3
5
6
-b/a=5，c/a=6
错误路径
正确路径
对 2x²+5x-3=0 写 x₁+x₂=5/2；对 x²-3x+2=10 未移项就取 c=2。
x₁+x₂=-5/2；第二式先化为 x²-3x-8=0，再取 a=1，b=-3，c=-8。
目标式
用 S、P 表示
附加条件
x₁²+x₂²
S²-2P
Δ≥0
(x₁-x₂)²
S²-4P
Δ≥0
1/x₁+1/x₂
S/P
Δ≥0 且 P≠0
x₁²x₂+x₁x₂²
PS
Δ≥0
以 x₁、x₂ 为根构造方程
x²-Sx+P=0
若指定实根，需 S²-4P≥0
错误路径
正确路径
对 2x²+5x-3=0 写 x₁+x₂=5/2；对 x²-3x+2=10 未移项就取 c=2。
x₁+x₂=-5/2；第二式先化为 x²-3x-8=0，再取 a=1，b=-3，c=-8。
目标式
用 S、P 表示
附加条件
x₁²+x₂²
S²-2P
Δ≥0
(x₁-x₂)²
S²-4P
Δ≥0
1/x₁+1/x₂
S/P
Δ≥0 且 P≠0
x₁²x₂+x₁x₂²
PS
Δ≥0
以 x₁、x₂ 为根构造方程
x²-Sx+P=0
若指定实根，需 S²-4P≥0
学生甲
待纠正
x₁+x₂=5/2，x₁x₂=3/2
先写 -b/a 与 c/a，再把带符号的 b=5、c=-3 整体代入。