初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第3章 一元二次方程3.2 一元二次方程的解法课文内容课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第3章 一元二次方程3.2 一元二次方程的解法课文内容课件pptPPT课件主要包含了配方得，由此得，由此可得，解移项得，例1解下列方程，规律总结，练一练，归纳总结，配方法的应用，解下列方程等内容，欢迎下载使用。
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上，修筑同样宽的两条平行且与另一条相互垂直的道路，余下的六个部分作为耕地，要使得耕地的面积为500m2，道路的宽为多少？
由于方程25x2+50x - 11 =0 的二次项系数不为1，为了便于配方，我们可根据等式的性质，在方程两边同除以25，将二次项系数化为1，得
x1=0.2，x2 =-2.2.
对于实际问题的方程②而言，x2=-2.2不合题意，应当舍去.而x =0.2符合题意，因此年平均增长率为20%.
用配方法解方程:4x2- 12x -1 =0.
解:将二次项系数化为1，得
问题1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： ① x2 + 6x + 8 = 0； ② 3x2 + 8x－3 = 0.
问题2：用配方法来解 x2 + 6x + 8 = 0 .
解：移项，得 x2 + 6x = -8， 配方，得 (x + 3)2 = 1. 开平方，得 x + 3 = ±1. 解得 x1 = -2，x2 = -4.
想一想怎么来解3x2 + 8x－3 = 0.
试一试：解方程： 3x2 + 8x -3 = 0. 解：两边同除以 3，得 配方，得 开方，得 即 所以 x1= ， x2 = -3 .
可以先将二次项系数化为 1.
二次项系数化为 1，得
2x2－3x = －1.
移项和二次项系数化为 1 这两个步骤能不能交换呢?
∵ 实数的平方不会是负数，∴ x 取任何实数时，上式都不成立．∴ 原方程无实数根．
为什么方程两边都加 12？
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为 1；②左边配成完全平方式；③左边写成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x + m)2 = n.
①当 n > 0 时，则 ，方程的两个根为②当 n = 0 时，则 (x + m)2 = 0，x + m = 0，开平方得方程的两个根为 x1 = x2 = -m.③当 n < 0 时，则方程 (x + m)2 = n 无实数根.
引例：一个小球从地面上以 15 m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h (m)与时间 t (s)满足关系：h = 15t - 5t2.小球何时能达到 10 m 高？
解：将 h = 10 代入方程式中. 15t - 5t2 = 10. 两边同时除以-5，得 t2 - 3t = -2， 配方，得 t2 - 3t + = - 2， =
移项，得 =即 t - = ，或 t - = .所以 t1 = 2 ， t2 = 1 .
即在 1 s 或 2 s 时，小球可达 10 m 高.
例2.试用配方法说明：不论 k 取何实数，多项式 k2－4k＋5 的值必定大于零.
解：k2－4k＋5 = k2－4k＋4＋1
= (k－2)2＋1
因为 (k－2)2≥0，所以 (k－2)2＋1≥1.
所以 k2－4k＋5 的值必定大于零.
例3 若 a，b，c 为△ABC 的三边长，且 试判断△ABC 的形状.
解：将原式配方，得
所以，△ABC 为直角三角形.
例4：解方程 4x2 -12x - 1 = 0.
解：将二次项的系数化为 1，得x2 - 3x - = 0， 配方，得 因此 由此，得 或 所以
1. 关于 x 的方程 2x2 - 3m - x + m2 + 2 = 0 有一根为 x = 0，则 m 的值为（ ） A. 1 B.1 C.1 或 2 D.1 或 -22. 利用配方法求最值.(1) 2x2 - 4x + 5 的最小值；(2) -3x2 + 5x + 1 的最大值.
解：(1) 2x2 - 4x + 5 = 2(x - 1)2 + 3，当 x = 1 时有最小值 3.(2) -3x2 + 5x + 1 = -3 + ，当 x = 时有最大值 .
1.求最值或证代数式的值恒正（或负）
将关于 x 的二次多项式通过配方成 a(x + m)2 + n 的形式后，由于 (x + m)2≥0，故当 a＞0 时，可得其最小值为 n；当 a＜0 时，可得其最大值为 n.
2.完全平方式中的配方
如：已知 x2－2mx＋16 是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负式的和的形式
对于含有多个未知数的二次式等式，求未知数的值，可考虑配方成多个完全平方式的和为0，再根据非负式的和为0，各式均为0，进而求解. 如：a2＋b2－4b＋4=0，即 a2＋(b－2)2=0，则a=0，b=2.
例5.读诗词解题： （通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.） 大江东去浪淘尽， 千古风流数人物。 而立之年督东吴， 早逝英年两位数。 十位恰小个位三， 个位平方与寿符。 哪位学子算得快， 多少年华属周瑜？
解：设个位数字为 x，十位数字为 (x - 3)
解得 x1 = 6，x2 = 5.
x2 - 11x = -30，
x2 - 11x + 5.52 = -30 + 5.52，
(x - 5.5)2 = 0.25.
x - 5.5 = 0.5，或 x - 5.5 = -0.5，
x2 = 10(x - 3) + x，
∴这个两位数为 36 或 25.
∴周瑜去世的年龄为 36 岁.
∵周瑜 30 岁还攻打过东吴，
（1）x2 + 4x - 9 = 2x - 11；（2）x(x + 4) = 8x + 12；（3）4x2 - 6x - 3 = 0； （4）3x2 + 6x - 9 = 0.
解：x2 + 2x + 2 = 0，
(x + 1)2 = -1.
解：x2 - 4x - 12 = 0，
(x - 2)2 = 16.
∴ x1 = 6，x2 = -2.
解：x2 + 2x - 3 = 0，
(x + 1)2 = 4.
∴x1 = -3，x2 = 1.
2.利用配方法证明：不论 x 取何值，代数式 − x2 − x −1 的值总是负数，并求出它的最大值.
解：− x2 − x −1 = −( x2 + x + ) + −1
∴ − x2 − x −1 的值总是负数.
当 时，− x2 − x −1有最大值
3.若 ，求 (xy)z 的值.
解：对原式配方，得
由非负式的性质可知
4.如图，在一块长 35 m、宽 26 m 的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为 850 m2，道路的宽应为多少？ 
解：设道路的宽为 x m，根据题意得
(35 - x)(26 - x) = 850.
整理，得 x2 - 61x + 60 = 0.
x1 = 60 (不合题意，舍去)，x2 = 1.
答：道路的宽为 1 m.
5. 已知 a，b，c 为 △ABC 的三边长，且满足等式 ，试判断 △ABC 的形状.
∴ △ABC 为等边三角形.