初中数学湘教版（2024）九年级上册（2024）第3章 一元二次方程3.1 一元二次方程的概念第一课时课时作业

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本课核心问题
面对一个具体方程或实际情境，怎样有依据地判断、规范表示并检验它是不是关于某个未知数的一元二次方程？
一、学习目标
1. 理解一元二次方程的定义，能在整理后依据“一个未知数、最高次数为2、二次项系数不为0”作出判断。
2. 掌握一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能准确指出二次项、一次项、常数项及其系数。
3. 能完整讨论简单含参数方程的类型，用代入法检验给定数是否为根，并从面积、乘积或变化率情境列出方程。
二、重点
• 先整理再判断一元二次方程，并规范写出一般形式。
• 正确识别各项及系数，特别是负号和缺项对应的0系数。
• 从实际等量关系列方程，并用代入检验连接方程的根。
三、难点
• 二次项可能在整理中抵消，参数也可能使二次项系数变为0；必须分类穷举后再下结论。
学习支架
一元二次方程五步判定法
1. 去括号、移项、合并同类项，使右边为0
2. 确认只研究一个未知数
3. 确认各含未知数的式子都是整式项
4. 看整理后含未知数项的最高次数是否为2
5. 检查二次项系数是否不为0，再写结论
一般形式中的项与系数
看外表，还是看整理结果
从实际问题到方程
1. 设未知数并写清单位与取值范围
2. 找出题目中的等量关系
3. 按等量关系列出原始方程
4. 去括号、移项并整理成一般形式
5. 代入检验给定值，再检查是否符合实际
四、知识要点
1. 定义要抓住三个条件
如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这个方程叫作一元二次方程。“只含一个未知数”回答“一元”；“最高次数是2”回答“二次”；“经过整理后”提醒我们不能凭原式外观判断。判断时还要注意：本课讨论的是整式方程。2/x+x=3中未知数出现在分母里，它是分式方程；x²+y=1含有x、y两个未知数；(x+1)²=x²+2x+3虽然原式有平方，整理后变成1=3。它们都不是一元二次方程。
2. 一般形式、各项与系数
关于x的一元二次方程都可以整理成ax²+bx+c=0，其中a、b、c是常数，且a≠0。ax²叫作二次项，a叫作二次项系数；bx叫作一次项，b叫作一次项系数；c叫作常数项。读取系数前必须做到三件事：右边化为0；左边按x的降幂排列；把每一项前面的符号一起读入系数。例如-3x²+x+6=0中，a=-3，b=1，c=6。3x²-5=0可补写成3x²+0x-5=0，所以b=0；2x²+x=0中c=0。只有a绝不能为0，否则最高次数就不再是2。
3. 规范化与参数分类
含括号或等号两边都有含x项时，依次去括号、移项、合并同类项。整理所得二次项系数才是判断依据。若二次项系数含参数，先求它等于0时的临界参数，再分两类讨论：二次项系数≠0时，方程是一元二次方程；二次项系数=0时，把参数代回原方程或整理式，继续判断它退化为一元一次方程、恒等式还是矛盾等式。分类必须覆盖全部参数值，不能只写“参数不等于某数”而不说明临界值对应什么。参数被看作已给定的常数，题目仍然是“关于x”的方程。
4. 方程的根与代入检验
能使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解；对于一元二次方程，也常叫作方程的根。若方程已整理成ax²+bx+c=0，把候选值代入左边，结果等于0，它就是根；结果不等于0，它就不是根。代入检验不是只写一个结果。规范过程要写清“代入哪个数—逐项计算—是否等于0—作出结论”。实际问题中还要检查根是否满足长度为正、百分率在0与1之间等条件。
5. 实际建模初步
列一元二次方程的关键不是先找平方，而是先找等量关系。常见的二次关系来自“两个随未知数变化的量相乘”，如长×宽=面积、原价×两次相同变化因数=现价、一个数×另一个数=积。建模书写顺序是：设未知数并写范围；用文字写等量关系；列原始方程；整理为一般形式；需要时检验候选值与实际限制。本课重在“列、整、判、验”，不要求使用后续方法系统求出所有根。
五、典型例题
【例1】
例1 判断下列方程是否为关于x的一元二次方程；若是，写成一般形式并指出a、b、c；若不是，说明理由。(1) 5x²=3x-4；(2) (x+2)²=x²+3；(3) 2/x+x=3；(4) x²+y=1。
【解答】(1)移项，得
5x²-3x+4=0。这个方程只含未知数x，最高次数为2，二次项系数5≠0，所以是一元二次方程。a=5，b=-3，c=4。(2)去括号，得
x²+4x+4=x²+3。移项、合并同类项，得
4x+1=0。整理后最高次数为1，所以不是一元二次方程，而是一元一次方程。(3)原方程中x在分母里，是分式方程，不是一元二次方程。即使去分母后能得到二次式，也不能改变原方程的类型与取值限制。(4)方程含有x、y两个未知数，不满足“一元”，所以不是关于x的一元二次方程。
【点拨】判定顺序不能颠倒：先整理，再看未知数个数、方程结构、最高次数和二次项系数。
【例2】
例2 关于x的方程(k²-1)x²+(k-1)x+2=0在什么条件下是一元二次方程？其余参数值下分别是什么情况？
【解答】二次项系数为k²-1。要成为一元二次方程，必须有
k²-1≠0。(k-1)(k+1)≠0。所以k≠1且k≠-1。下面穷举临界值。情况一：k≠1且k≠-1。二次项系数不为0，原方程是一元二次方程。情况二：k=1。原方程化为
0x²+0x+2=0，即2=0。这是矛盾等式，不是一元二次方程。情况三：k=-1。原方程化为
0x²-2x+2=0，即-2x+2=0。这是一元一次方程，不是一元二次方程。综上，当且仅当k≠±1时，原方程是一元二次方程；k=1时退化为矛盾等式，k=-1时退化为一元一次方程。
【点拨】参数分类先抓二次项系数的零点，再把每个临界值代回。这里的三种情况已经覆盖全部实数k。
【例3】
例3 分别检验x=2和x=-1是否为方程2x²-x-6=0的根。
【解答】当x=2时，方程左边为
2×2²-2-6
=2×4-2-6
=8-2-6
=0。左边等于右边，所以x=2是原方程的根。当x=-1时，方程左边为
2×(-1)²-(-1)-6
=2×1+1-6
=-3。-3≠0，所以x=-1不是原方程的根。
【点拨】代入负数时要用括号；“是根”的最终依据只能是代入后等式成立。
【例4】
例4 一块长方形校园展示区的长比宽多3 m，面积为40 m²。设宽为x m。(1)列出x满足的方程并整理成一般形式；(2)已知候选值x=5，检验它是否为方程的根，并判断是否符合实际。
【解答】设展示区的宽为x m，则长为(x+3) m，且x>0。等量关系为
宽×长=面积。列方程，得
x(x+3)=40。去括号，得
x²+3x=40。移项，得
x²+3x-40=0。它是一元二次方程，其中a=1，b=3，c=-40。把x=5代入方程左边，得
5²+3×5-40
=25+15-40
=0。所以x=5是方程的根。又因为5>0，长为5+3=8（m），5×8=40（m²），符合实际情境。
【点拨】模型检验有两层：先检验方程成立，再检验单位、正负和题意是否合理。
同 步 练 习
一元二次方程五步判定法
1. 去括号、移项、合并同类项，使右边为0
2. 确认只研究一个未知数
3. 确认各含未知数的式子都是整式项
4. 看整理后含未知数项的最高次数是否为2
5. 检查二次项系数是否不为0，再写结论
看外表，还是看整理结果
从实际问题到方程
1. 设未知数并写清单位与取值范围
2. 找出题目中的等量关系
3. 按等量关系列出原始方程
4. 去括号、移项并整理成一般形式
5. 代入检验给定值，再检查是否符合实际
★ 基础巩固
1. 1. 关于x的一元二次方程的一般形式是（________），其中（________）；二次项、一次项、常数项分别是（________）、（________）、（________），对应系数分别是（________）、（________）、（________）。
2. 2. 方程x³-4x²+1=0只含一个未知数并且有x²项，所以它是一元二次方程。（________）（ ）
3. 3. 方程(x-1)(x+1)=x²+2x虽然原式两边都有x²，但整理后不是一元二次方程。（________）（ ）
4. 4. 把方程7x²+2=3x整理成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项。
5. 5. 判断方程(2x-1)(x+3)=2x²+4x+7是否为一元二次方程，并写出完整整理过程。
6. 6. 方程-4y²+9=0可补写为-4y²+（________）y+9=0，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次为（________）、（________）、（________）。
7. 7. 用代入法检验x=3和x=-2是否都是方程x²-x-6=0的根。
8. 8. 一个数为x，比它大4的数为（________）。若这两个数的积为45，可列方程（________），整理成一般形式为（________）。
9. 9. 方程(t-2)²=9整理后为t²-4t-5=0，因此它是关于t的一元二次方程。（________）（ ）
★★ 能力提升
10. 10. 下列方程中，整理后是一元二次方程的是（________）。
A. (x+1)²=x²+2x
B. 3x²-x=2x²+4
C. x²+y=0
D. 2/x+x=0
规范判断记录表
11. 11. 按表中三列要求逐个判断，不得只写“是”或“否”。①3x²+2x-1=0；②(x-2)²=x²+5x；③(t+1)(t-1)=2t²。
12. 12. 关于x的方程(p-3)x²+(p+1)x-2=0在什么条件下是一元二次方程？当它不是一元二次方程时，说明方程类型。
13. 13. 讨论关于x的方程mx²+2x=4x²+(m-1)x+1在什么条件下是一元二次方程，并写出其一般形式；其余情况也要说明。
14. 14. 一张长方形照片的长比宽多6 cm，面积为91 cm²。设宽为x cm。(1)写出x的实际取值条件、等量关系和方程，并整理成一般形式；(2)检验x=7是否为方程的根并说明实际意义。
★★★ 拓展延伸
15. 15. 某文具套装原价80元，连续两次按相同的降价率销售后售价为64元。设每次降价率为x。(1)写出x的实际取值范围和两次降价后的等量关系；(2)列出方程并整理成二次项系数为正、各项系数为整数且没有公因数的一般形式；(3)有同学估计每次降价率为10%，请用代入法检验这个估计。
16. 16. 对于关于x的方程(m-1)x²+(m+1)x-2=0，是否存在实数m，使这个方程既是一元二次方程，又以x=1为根？请完整分类并说明理由。
参 考 答 案
第1题：ax²+bx+c=0；a≠0；ax²；bx；c；a；b；c
【解析】一般形式必须使右边为0。a决定是否保留二次项，所以a≠0；b、c可以为0。
第2题：×
【解析】整理后含未知数项的最高次数是3，不是2，因此它是一元三次方程。
第3题：√
【解析】展开得x²-1=x²+2x；移项、合并同类项得-2x-1=0，最高次数为1。
第4题：一般形式为7x²-3x+2=0；二次项系数为7，一次项系数为-3，常数项为2。
【解析】7x²+2=3x
7x²-3x+2=0
负号随3x移到左边后成为一次项系数的一部分。
第5题：不是；整理后为x-10=0，是一元一次方程。
【解析】(2x-1)(x+3)=2x²+4x+7
2x²+6x-x-3=2x²+4x+7
2x²+5x-3=2x²+4x+7
x-10=0
二次项完全抵消，所以不是一元二次方程。
第6题：0；-4；0；9
【解析】缺少一次项表示一次项是0y，而不是没有一次项系数。
第7题：3、-2均为方程的根。
【解析】当x=3时：3²-3-6
=9-3-6
=0，所以x=3是根。当x=-2时：(-2)²-(-2)-6
=4+2-6
=0，所以x=-2也是根。
第8题：x+4；x(x+4)=45；x²+4x-45=0
【解析】等量关系是“较小数×较大数=45”。列式后展开并把45移到左边。
第9题：√
【解析】(t-2)²=9
t²-4t+4=9
t²-4t-5=0
整理后只含t，最高次数是2，二次项系数1≠0。
第10题：B
【解析】A整理后为1=0，不含未知数；B整理后为x²-x-4=0，符合定义；C含两个未知数；D的分母含未知数，是分式方程。
第11题：①3x²+2x-1=0，是一元二次方程，a=3，b=2，c=-1。②整理为-9x+4=0，不是一元二次方程，是一元一次方程。③整理为-t²-1=0，是一元二次方程，a=-1，b=0，c=-1。
【解析】①已经是一般形式。②(x-2)²=x²+5x
x²-4x+4=x²+5x
-9x+4=0
二次项抵消。③(t+1)(t-1)=2t²
t²-1=2t²
-t²-1=0
一次项缺失，所以b=0。
第12题：当p≠3时是一元二次方程；当p=3时化为4x-2=0，是一元一次方程。
【解析】二次项系数是p-3。情况一：p-3≠0，即p≠3。此时原方程是一元二次方程。情况二：p-3=0，即p=3。代回原方程，得
0x²+4x-2=0，即4x-2=0。此时是一元一次方程。两种情况覆盖全部实数p。
第13题：一般形式为(m-4)x²+(3-m)x-1=0。当m≠4时是一元二次方程；当m=4时化为-x-1=0，是一元一次方程。
【解析】先把右边各项移到左边：mx²+2x-4x²-(m-1)x-1=0。合并同类项：(m-4)x²+[2-(m-1)]x-1=0。化简一次项系数：(m-4)x²+(3-m)x-1=0。情况一：m-4≠0，即m≠4。二次项系数不为0，方程是一元二次方程。情况二：m=4。原整理式化为
0x²-x-1=0，即-x-1=0。它是一元一次方程。两类情况无遗漏。
第14题：x>0；等量关系为宽×长=面积；方程为x(x+6)=91，一般形式为x²+6x-91=0；x=7是方程的根，表示照片宽7 cm、长13 cm。
【解析】设宽为x cm，则长为(x+6) cm，x>0。宽×长=面积。x(x+6)=91。x²+6x=91。x²+6x-91=0。把x=7代入左边：7²+6×7-91
=49+42-91
=0。所以x=7是方程的根。又因为7>0，且7×13=91，所以它符合实际。
第15题：0