人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课后作业题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）15.3.1 等腰三角形课后作业题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在中，垂直平分于点，是边的垂直平分线，交，，于点，，，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，点在线段上，以为边向上作，．以为底边作等腰，使，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3．已知一个三角形中两个内角分别是和，则这个三角形一定是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
4．如图，将三角形沿方向平移至三角形，线段与相交于点，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，，则的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．无法确定
6．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知是两格点，如果也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点的个数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
8．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
9．如图，点、都在正方形网格的格点上，若等腰的三个顶点都在格点上，则满足条件的点的个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
二、填空题
10．锐角三角形，边的中垂线和的角平分线相交于点，若，，则的度数为___________．
11．在中，是中点，，，垂足分别是，，，则是________三角形．
12．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______．
13．如图，点P是的平分线上一点，过点P作交于点C，若，，则点P到的距离的长是_______．
14．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，则_____________．
15．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个．
16．如图，在中，，将图形沿折叠，点落在上的点处，再将图形沿折叠，点落在上的点处，此时，则的度数为________
三、解答题
17．如图，在等腰直角中，，，，为中点，连接并延长交于点，连接，，求证：．
18．如图，与为等腰三角形，，，，为线段上一个动点，与相交于点．
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，在延长线上取一点，当时，线段与有什么位置关系？并说明理由；
(3)如图3，若，且的面积为，求的长．
19．如图，在中，，点D在的延长线上．
(1)利用尺规，作的平分线，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）
(2)已知，求的度数．
20．已知中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)请对题干中的划线部分尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），并标记D，E两点；
(2)若，用含的代数式表示．
1．D
【知识点】等边对等角、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质
【分析】根据垂直平分得出，，，根据是边的垂直平分线得出，根据直角三角形两锐角互余的性质及外角的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵垂直平分于点，点在上，，
∴，，
∴，，，，
∴，即，
∵是边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∴．
2．A
【知识点】三线合一、实数的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用可证明，根据全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
3．D
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】先根据三角形内角和定理求出第三个内角的度数，再根据三角形分类规则判断三角形类型即可．
【详解】解：该三角形第三个内角的度数为，
最大的内角为，
∴这个三角形为锐角三角形，
∵这个三角形有两个内角相等，
∴这个三角形一定是等腰三角形．
4．D
【知识点】根据等角对等边证明边相等、全等三角形的性质、利用平移的性质求解
【分析】平移前后对应边平行且相等，根据平移的性质逐项判断即可．
【详解】解：由平移得，
，
，故A选项说法一定正确；
由平移得，故B选项说法一定正确；
由平移得，故C选项说法一定正确；
由平移得，，
，，
不一定等于，
不一定等于，
不一定正确．故D选项说法不一定正确．
5．A
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边求边长、作角平分线(尺规作图)
【分析】由平行线得到，然后结合角平分线得到，推出，即可求解．
【详解】解：∵
∴
由作图得，平分
∴
∴
∴
∴的周长为．
6．C
【知识点】含30度角的直角三角形、三角形内角和定理的应用、作垂线(尺规作图)
【分析】由尺规作图可知，，利用含角的直角三角形的性质可得，，因此．
【详解】解： 在中，，
∴，，
由尺规作图可知，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
7．D
【知识点】格点图中画等腰三角形
【分析】本题考查由等腰三角形定义构造等腰三角形，熟记等腰三角形定义是解决问题的关键．
由等腰三角形定义，在网格中作出图形即可确定答案．
【详解】解：如图所示：
使得为等腰三角形的情况有：、、、、、、、，共8个，
故选：D．
8．A
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、找出图中的等腰三角形、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题．
根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形；
∵平分，
∴，
∴，则是等腰三角形；
∵，
∴，则是等腰三角形，
综上，图中共有5个等腰三角形，
故选：A．
9．A
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点
【分析】根据等腰三角形的定义，分，，三种情况讨论，结合网格特点找出满足条件的格点的个数．
【详解】解：设网格小正方形的边长为，
由图可知，点、在同一条竖直格线上，且，
网格横向有个格，纵向有个格，
分三种情况讨论：①当时，点在以为圆心，为半径的圆上，
在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上，
②当时，点在以为圆心，为半径的圆上．
在网格内，满足条件的格点有个，分别位于点的左侧和右侧，与点在同一水平线上，
③当时，点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线是经过中点的水平格线，
该直线上共有 个格点，除去与、共线的个点（即 中点），剩余个点满足条件，
综上所述，满足条件的点的个数是．
10．
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质
【分析】设的中点为点，由角平分线的性质可得，，进而得到，由中垂线的性质可得，则，因此．
【详解】解：如图，设的中点为点，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∴．
11．等腰
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、根据等角对等边证明等腰三角形
【分析】根据全等三角形的判定和性质求出，即可证明是等腰三角形．
【详解】∵是中点，
∴，
∵，，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
12．
【知识点】根据等角对等边证明边相等、两直线平行内错角相等、角平分线的有关计算
【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解．
【详解】∵，
∴，，
∵平分，
∴，即，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴．
13．1
【知识点】含30度角的直角三角形、两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、根据等角对等边求边长、点到直线的距离
【分析】根据角平分线定义和平行线性质证得是等腰三角形，求出的长，过点作于点，求出，根据角平分线的性质得出点到的距离．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴,,
∴，
过点作于点，
∴，
∵平分，，
∴,
即点到的距离为1．
14．15
【知识点】含30度角的直角三角形、作角平分线(尺规作图)
【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据直角三角形的性质，三角形面积性质求解即可；
【详解】解：在中，，，
，
根据基本作图，得到，
，
，，
，
，
，
；
15．4
【知识点】求与图形中任意两点构成等腰三角形的点、坐标与图形综合、线段垂直平分线的性质
【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键．
分、、三种情况讨论即可．
【详解】解：如图：
当时，在y轴上有1点满足条件的点M；
当时，在y轴上有1点满足条件的点M；
当时，在y轴上有2点满足条件的点M；
符合条件的有4个点M；
故答案为4．
16．45
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形折叠中的角度问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】设，利用等腰三角形性质以及折叠得到，然后利用三角形外角性质列方程求解．
【详解】解：设，
由折叠可知：，
，
，
又由折叠可知：，
，
，
，
，
，
，
解得，
则的度数为．
17．证明：，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
．
【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、直角三角形的两个锐角互余
【分析】利用等腰直角三角形的性质，垂直性质，三角形的内角和为结合题目条件推导即可．
【详解】略
18．(1)证明：∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分．
(2)解：，理由如下：
如图所示，在上截取，使得，连接，在上取点，连接，使得，
，，
，
在和中，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
(3)
【知识点】等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）利用“相等的角减去相同角的两角仍相等”证明模型证明，进而证明，得到对应角相等证明结果；
（2）在上截取，使得，连接，在上取点，连接，
使得，证明，利用等腰三角形的性质与全等三角形的性质以及等量代换证明，最后根据等量代换证得，从而得到答案；
（3）先根据等腰三角形的性质与全等三角形的性质等量代换后得到，利用算出，再利用三角形内角和为和等量代换得出，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，通过角度的换算得到是等腰直角三角形，再证得，根据平行线间垂线段相等，利用同底等高得到的面积，从而求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：由（1）知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，解得，
∴，
在和中，，
∴，，
如图所示，取线段垂直平分线的交点，连接，过点作交于点，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，则，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴或，
∵线段的长度为非负数，
∴．
19．(1)如图所示，即为所求
(2)
【知识点】等边对等角、三角形的外角的定义及性质、作角平分线(尺规作图)、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）由等边对等角可得，由三角形外角的性质求出的度数，再由角平分线的定义可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
20．(1)如图所示，
(2)．
【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线
【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可；
（2）根据垂直平分线的性质和等腰三角形等边对等角，表示出，再根据即可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：垂直平分，
，
，
，
，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9

答案
D
A
D
D
A
C
D
A
A