初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形课后测评

这是一份初中数学人教版（2024）八年级上册（2024）第十五章 轴对称15.3 等腰三角形课后测评，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求。
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE长为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4

第1题 第2题
2.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动.C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是( )
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=15°，∠DBC=60°，BC=1，则AD的长为( )
A.1.5B. 2C. 3D. 4

第3题 第4题
4.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC=4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为( )
A. 52 B. 3 C. 4 D. 5
5.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，则AC等于()
A. 6cmB. 5cmC. 4cmD. 3cm
6.等腰三角形的一个内角为70°，则另外两个内角的度数分别是( )
A. 55°，55°B. 70°，40°或70°，55°
C. 70°，40°D. 55°，55°或70°，40°
7.如图，直线m // n，△ABC是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交AB于点E，交AC于点F，若∠1=140°，则∠2的度数是( )
A. 80°B. 100°C. 120°D. 140°

第7题 第8题
8.如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°.则新钢架减少用钢( )
A. (24−12 3)mB. (24−8 3)mC. (24−6 3)mD. (24−4 3)m
9.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1.AD的长是( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

第9题 第10题
10.如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AB、BC边上，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G.下列结论：①AE=CD；②∠AFC=120°；③△ADF是等腰三角形；④FGAG=12，其中正确的结论是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ③④
二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。
11.如图，在等边△ABC中，AB=6，点D，E分别在边BC，AC上，且BD=CE，连接AD，BE交于点F，连接CF，则CF的最小值是 ．

第11题 第12题
三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2= ．
13.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，DE // AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，DE=2，则DF= ．

第13题 第14题
14.如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC，BC=BD，则∠ACB的度数为 ．
15.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
16.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰三角形ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为 ．
17.如图，△ABC中，AB=AC，BC=5，S△ABC=15，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AB，交AC于点F，在EF上确定一点P，使PB+PD最小，则这个最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB//CD，点E是BC上一点，且∠AED=∠B，AE=2DE．
(1)求证：BE=2CD；
(2)若AB=8，CD=2，DE=5，求AD的长．
19.(本小题8分)
(1)如图ⓐ，在▵ABD和▵ACE中，∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠ACE．
①求证：▵ABC∽▵ADE；
②若AB=AC，试判断▵ADE的形状，并说明理由．
如图ⓑ点D在边BC上，若∠BAC=∠DAE=90∘，∠B=∠ADE.求证：CE⊥BC．
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB=DC，连接AD．
(1)求证：∠CAD=∠ACD；
(2)延长AD，与BC交于点F，若AC=AB，
①求证：F是BC的中点；
②连接EF，若BD⊥CD，则EF与BC的数量关系是__．
21.(本小题8分)
如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由点A向点C运动(与A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
(1)若设AP=x，则PC= ______，QC= ______；(用含x的式子表示)
(2)∠BQD=30°时，求AP的长；
(3)在运动过程中，线段DE的长是否发生变化？如果不变，求出线段DE的长；如果变化，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1,0)，以线段OA为边在第四象限内作等边三角形ABO，C为x轴正半轴上的一个动点(OC>1)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．
(1)求证：△OBC≌△ABD．
(2)点E的位置是否会随点C位置的变化而变化？若不变，请求出点E的坐标；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵E是AB的中点，AB=4，
∴CE=BE=12AB=12×4=2，
∴△BCE为等边三角形，
∵CD⊥AB，
∴DE=BD=12BE=12×2=1，
故选：A．
利用三角形的内角和定理可得∠B=60°，由直角三角形斜边的中线性质定理可得CE=BE=2，利用等边三角形的性质可得结果．
本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握定理是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵OC=CD=DE，
∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°，
∴∠ODC=25°，
∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=105°，
∴∠CDE=105°−∠ODC=80°．
故选：D．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．
根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知，∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，根据三角形的外角性质即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．
3.【答案】B
【解析】解：∵∠DBC=60°，∠C=90°，
∴∠BDC=90°−60°=30°，
∴BD=2BC=2×1=2，
∵∠C=90°，∠A=15°，
∴∠ABC=90°−15°=75°，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=75°−60°=15°，
∴∠ABD=∠A，
∴AD=BD=2．
故选：B．
根据直角三角形两锐角互余求出∠BDC=30°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再求出∠ABC，然后求出∠ABD=15°，从而得到∠ABD=∠A，根据等角对等边可得AD=BD，从而得解．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB=MA，
∴BM+MD=MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD(当且仅当M点在AD上时取等号)，
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB=AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC=12⋅BC⋅AD=10，
∴AD=10×24=5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB=MA，所以BM+MD=MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．
5.【答案】D
【解析】解：∵
在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，
∴∠BAC=90°−15°=75°，
∵DE垂直平分AB，交BC于点E，BE=6cm，
∴BE=AE=6cm，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠EAC=75°−15°=60°，
∵∠C=90°，
∴∠AEC=30°，
∴AC=12AE=12×6cm=3cm，
故选：D.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
【解答】
解：分情况讨论：
(1)若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角=(180°−70°)÷2=55°；
(2)若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°−70°−70°=40°．
故选：D．
7.【答案】B
【解析】略
8.【答案】D
【解析】略
9.【答案】C
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；
又∵AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB=CA∠BAE=∠ACDAE=CD，
∴△ABE≌△CAD(SAS)；
∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；
∵BQ⊥AD，
∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°−60°=30°；
∵PQ=3，
∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；
又∵PE=1，
∴AD=BE=BP+PE=7．
故选：C．
由已知条件，先证明△ABE≌△CAD得∠BPQ=60°，可得BP=2PQ=6，AD=BE，则可求AD的长．
本题主要考查全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及含30°的角的直角三角形的性质；巧妙借助三角形全等和直角三角形中30°的性质求解是正确解答本题的关键．
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等边三角形和全等三角形的判定与性质，并准确识图是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAC=∠B=60°，然后利用“边角边”证明△ABE和△CAD全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CD，判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ACD=∠BAE，求出∠CAF+∠ACD=60°，然后利用三角形的内角和定理求出∠AFC=120°，判定②正确；求出∠ADF>60°，∠FAD