八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形练习题

这是一份八年级上册（2024）15.3.2 等边三角形练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，AD是等边三角形ABC的角平分线，点E是边AB的中点，点P是AD上一动点，连接PB、PE，已知，则最小值为（ ）
A．3B．6C．9D．12
2．如图中的所有三角形均为等边三角形，这些大小不同的等边三角形组成了一个优美的谢尔宾斯基三角形，如果的面积为12，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1B．3C．6D．12
3．已知的三边a、b、c满足，则的形状是（ ）
A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形
4．如图，在等腰中，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，这是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，且∠BCE=120∘．若的长度为，则此时，两点之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，是的高，的平分线交于点E，过点B作，垂足为点F，交于点G．若，则下列结论中：①；②；③．所有正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．如图，将军要牵着马从点到水渠饮水，下列可选择的4条路径中最短的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知，是内部的一个定点，且，点分别是上的动点，若使周长的最小，则最小周长是（ ）
A．1B．2C．3D．
二、填空题
9．如图，将等边沿着向右平移一定距离后得到，点在上．若，，则平移的距离为________．
10．如图，在等边中，点是边上的一点，关于成轴对称，则的度数是________°；点是边上任意一点，点是边上任意一点，若，则的最小值是________．
11．在中，，且，则这个三角形是________三角形．
12．如图，在中，，点为上的一点，，在的右侧作，使得，，连接，交于点，若，则的度数为________．
13．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________．
14．在中，已知，则________（填“”、“”或“”）
15．如图，在中，D是上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点E恰好落在上，M是上一动点，连接，，若，，，则的最小值为______．
三、解答题
16．如图，等腰中，，，点在上．请在上确定一点，使连接后，是等边三角形．
(1)写出确定点的操作过程．
(2)以（1）中操作过程的描述为已知条件，证明是等边三角形．
17．在中，，点是边上一点，点在的延长线上，且，平分交于点，连接．
(1)如图1，写出与相等的角；
(2)如图2，当时，在上取点，使，连接．
①补全图形；
②求；
(3)如图3，当，且，直接写出与之间的数量关系．
18．等边三角形中，为边上的高，点，分别为线段，上一点（点不与点，重合，点不与点，重合），所在直线交于点，将图形沿翻折，得到点的对应点；
(1)如图1，若点落在上，则的度数为______；如图2，若点落在上，则的度数为_____；
(2)如图3，若，求的度数；
(3)若点落在延长线上时，请直接写出，和之间的等量关系．
19．在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，的三个顶点均在格点处，请利用网格作图．
(1)画出关于直线对称的；（不需要写出结论，但要标清字母）
(2)在直线上找一个点，使最短．（标出点，作图要体现出确定点的过程）
20．如图，点是的边的中点，且恰好在的平分线上，，，垂足分别为，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的长．
1．B
【知识点】等边三角形的性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一
【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，进而求解．
【详解】解：连接，，
∵是等边三角形的角平分线，
∴垂直平分，
∴，
∴，
根据两点之间线段最短，当、、共线时，最小，即最小，最小值为的长．
又∵是中点，是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴．
2．B
【知识点】等边三角形的性质
【分析】证明以及所有的小等边三角形全等，进而解题．
【详解】解：如图，
由题意知，，，，，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴
．
3．C
【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定
【分析】利用平方和绝对值的非负性推导三边的关系，即可判断三角形形状．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，即，
∴是等边三角形．
4．D
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和HL综合（HL）、等边三角形的判定和性质
【分析】先证明为等边三角形，得出，，再证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．C
【知识点】等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，连接，利用邻补角定义求出的度数，结合判定为等边三角形，从而得出的长．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
6．C
【知识点】大（小）边对大（小）角定理、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可；
②根据等角的余角相等得出，利用证明，然后利用角平分线的定义得出相等角，利用①的结论得出相等角，然后利用等角对等边证明即可；
③延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴；
故①正确，符合题意；
②∵，是的高，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由①得，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故②正确，符合题意；
③如图所示，延长交于点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴为钝角，
∴在中，，
∴，
∴
故③错误，不符合题意；
综上，正确选项为①②．
7．B
【知识点】最短路径问题
【详解】解：根据直线外一点到直线上所有点中垂线段最短可知，最短路径为．
8．C
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质
【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，，可证明当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长；证明是等边三角形，得到，则的周长的最小值为3．
【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、，，
由对称性可知，，，，
的周长，
∵点P为定点，
∴点是定点，
∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为的长；
，，
，
，
∴，
，
是等边三角形，
，
，
∴的周长的最小值为3．
9．6
【知识点】等边三角形的性质、利用平移的性质求解
【详解】解：∵是等边三角形，，，
∴，
则平移的距离为．
10． 90 4
【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质
【分析】①利用轴对称的性质即可求解；②先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】解：∵关于成轴对称，
∴．
如图，过点作于点，交于点， 连接，
∵关于成轴对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当点与点重合，点与点重合时，的长为的最小值，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值是4．
11．等边
【知识点】等边对等角、等边三角形的判定
【分析】根据等边对等角的性质，由可得，结合已知条件，可推出三个内角相等，进而即可得到三角形的形状．
【详解】解：在中，，
，
又，
．
∴是等边三角形．
12．/88度
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质
【分析】先证明，进而可依据“”判定和全等，则，再根据得，则，进而得，由此可判定是等边三角形，则，从而得是等边三角形，则，再求出即可得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
．
13．/75度
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的判定和性质、三角形的外角的定义及性质、等边对等角
【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵是的中点，
∴
∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∴
∵
∴．
14．
【知识点】大（小）边对大（小）角定理
【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小．
【详解】解：在中，对，对，，
，即．
15．5
【知识点】最短路径问题、折叠问题
【分析】本题考查了折叠性质，轴对称−最短路线问题，关键是确定点M的位置．
根据折叠可知B和E关于AD对称，由对称的性质得出当M和D重合时，此时的值最小，即为．
【详解】解：连接，由题可知B和E关于AD对称，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当点M和点D重合时，此时的值最小，即为，
∴则的最小值为5，
故答案为：5．
16．(1)解：如图，过点D，作，交于E；
(2)证明：∵等腰中，，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
，
，
∴是等边三角形．
【知识点】过直线外一点作已知直线的平行线、等边三角形的判定和性质
【分析】（1）过点D，作交于；
（2）先证明是等边三角形，根据平行线的性质得即可证得是等边三角形．
【详解】（1）略
（2）略
17．(1)和
(2)①；②；
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】（1）利用“边角边”定理证明，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换证明结论；
（2）①在上截取，连接，
②证明，根据全等三角形的性质得到，进而证明为等边三角形，可得，进而可得，由（1）可得，则，进而可得；
（3）延长交于N，证明，得到，再证明，得到，等量代换得到答案．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴与相等的角是和
（2）①图略；
②如图2，在上截取，连接，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴为等边三角形；
∴
∴
∵
由（1）可得
∴
∴
（3）证明：如图3，延长交于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴由（1）可得
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴．
18．(1)，
(2)
(3)
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质、三角形的外角的定义及性质、折叠问题
【分析】（1）根据等边三角形的性质可知，根据等边三角形的三线合一定理可知；由折叠的性质可知，根据三角形内角和定理可知，由折叠的性质可知；
（2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可知，，根据折叠的性质可知，根据三角形外角的性质可得：；
（3）延长交于点，根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，根据三角形外角的性质可得．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，
当点落在上时，
由折叠可知，，
，
；
是等边三角形，
，
，
，
由折叠可知，，，
，
；
（2）解：是等边三角形，
，
，
，，
，
，
由折叠可知，
；
（3）解：如下图所示，延长交于点，
是等边三角形，
，
，
，
由折叠可知，
是的外角，
，
，
，
是的外角，
．
19．(1)如图，即为所求．
(2)如图，点即为所求．
【知识点】最短路径问题、两点之间线段最短、画轴对称图形
【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特征，找出点、、的对应点、、，顺次连接即可；
（2）连接，交直线于，连接，根据轴对称的性质得出，根据两点之间，线段最短即可得出的最小值为，可得点即为所求．
【详解】（1）解：略
（2）解：略
20．(1)证明：平分，，，
，
是的中点，
，
，，
，
在和中
，
，
，
是等腰三角形．
(2)9
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、角平分线的性质定理、用HL证全等（HL）
【分析】（1）先利用角平分线性质得到垂线段，结合中点推出，证明两个直角三角形全等，得到，再依据等角对等边证出，从而证明是等腰三角形．
（2）在中根据30°直角三角形性质求出长度并算出，结合第一问等腰结论判定为等边三角形，得到总长，最后用线段和差算出的长度．
【详解】（1）略
（2）解：，
，
在中，，，
，
，
由（1）得，又，
是等边三角形，
，
为中点，
，即，
，
．