初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法精品ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.3 因式分解法精品ppt课件，共29页。PPT课件主要包含了2公式法，3十字相乘法，2配方法，3公式法，因式分解，因式分解法的概念，因式分解法的基本步骤，例1解下列方程，十字相乘法因式分解，运算法则等内容，欢迎下载使用。
3. 通过探索因式分解法解一元二次方程的过程，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，体会转化的思想方法.
问题1：因式分解的方法有哪些？
(1) 提取公因式法：
am + bm + cm = m(a + b + c)
a2 - b2 = (a + b)(a - b)
x2 + (p + q)x2 + pq = (x + p)(x + q)
a²±2ab + b² = (a±b)²
(1) 直接开平方法：
x2=a(a≥0) 或 (mx + n)2 = a(a≥0)
(x + h)2 = k (k≥0)
问题2：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？
问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s 的速度竖直上抛，那么物体经过 x s 后的离地高度 (单位：m) 约为 10x－5x2. 根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?
解：设物体经过 x s 落回地面，这时它离地面的高度为 0 m，即
10x－5x2＝0. ①
探究点1：因式分解法解方程
解：移项，得 5x2 - 10x = 0.
a = 5，b = -10，c = 0.
∴ Δ = b2－4ac = (-10)2－4×5×0 = 100.
公式法解方程 10x-5x2=0.
配方法解方程 10x - 5x2 = 0.
解：5x2 - 10x = 0.
二次项系数化为1，得 x2 - 2x = 0.
配方，得 x2 - 2x + 1 = 1.
(x - 1)2 = 1.
由此可得 x1 = 2，x2 = 0.
∴ x1 = 2，x2 = 0.
两个因式乘积为 0，说明什么？
或 10 - 5x = 0
降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
10x - 5x2 = 0 ①
x(10 - 5x) = 0 ②
思考2 解方程①时，二次方程是如何降为一次的？
思考1 除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？
x1 = 0，x2 = 2
先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于 0的形式，再使这两个一次式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.
一移——使方程的右边为 0；
二分——将方程的左边因式分解；
三化——将方程化为两个一元一次方程；
四解——写出方程的两个解.
简记歌诀：右化零，左分解；两因式，各求解.
(1) x(x - 2) + x - 2 = 0；
解：(1) 左边因式分解，得
于是 x - 2 = 0，或 x + 1 = 0，
即 x1 = 2，x2 = -1.
(x - 2)(x + 1) = 0.
转化为两个一元一次方程
解：移项、合并同类项，得 4x2 - 1 = 0.
左边分解因式，得 (2x + 1)(2x - 1) = 0.
于是 2x + 1 = 0，或 2x - 1 = 0.
【练一练】1. 解下列方程：
(1) (x + 1)2 = 5x + 5；
即 x1 = −1，x2 = 4．
解：(1) 移项，得 (x + 1)2 - 5(x + 1) = 0.
左边分解因式，得 (x + 1)(x − 4) = 0.
于是 x + 1 = 0，或 x − 4 = 0，
(2) x2 − 6x + 9 = (5 − 2x)2．
解：方程整理，得 (x − 3)2 − (5 − 2x)2 = 0，
左边分解因式，得[(x − 3) + (5 − 2x)][(x − 3) − (5 − 2x)] = 0，
于是 2 − x = 0，或 3x − 8 = 0，
即 (2 − x)(3x − 8) = 0.

x2 + (p + q)x + pq
= (x + p)(x + q)
1. 多项式为二次三项式；
2. 多项式的常数项可分解成两个因数，且两个因数的___等于一次项系数.
例2 解方程：x2 − 5x + 6 = 0.
x2 −5x + 6 ；
解：分解因式，得 (x − 2)(x − 3) = 0 .
−2x + ( −3)x = -5x
③ 检验确定，横写因式.
① 竖分常数项与二次项；
② 交叉相乘，积相加；
即 x1 = 2，x2 = 3.
于是 x − 2 = 0，或 x − 3 = 0，
(1) x2 - 6x + 8 = 0；
(2) x2 + 4x − 5 = 0.
(1) (2) 用因式分解的十字相乘法解题较快.
解：(1) 分解因式，得 (x − 2)(x − 4) = 0，
解：(2) 分解因式，得 (x + 5)(x − 1) = 0，
即 x1 = −5，x2 = 1．
即 x1 = 2，x2 = 4.
于是 x − 2 = 0，或 x − 4 = 0，
于是 x + 5 = 0，或 x − 1 = 0，
探究点2：选用适当的方法解方程
例3 用适当的方法解方程：(1) 3x (x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
(1) 有公因式时，可用因式分解法；
(2) 方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法.
(1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1；
解：开平方，得 5x + 1 = ±1.
3x(x + 5) - 5(x + 5) = 0.
(3x - 5)(x + 5) = 0.
于是 3x - 5 = 0，或 x + 5 = 0.
于是 5x + 1 = 1，或 5x + 1 = - 1.
(3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1.
(3) 二次项系数为 1，可用配方法解较快；
x2 - 12x + 62 = 4 + 62，
(x - 6)2 = 40.
(4) 3x2 = 4x + 1.
(4) 二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，可用公式法.
解：(4) 移项，得 3x2 - 4x - 1 = 0.因为 a = 3，b = −4，c = −1，所以 Δ = b2 - 4ac = 28 > 0，
方程有两个不等的实数根
x2 - 2x + 1 = 0.
(x - 1)2 = 0.
∴ x - 1 = 0.
解得 x1 = x2 = 1.
(2x + 11)( 2x - 11) = 0.
∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0.
(4) x2 + 4x − 2 = 2x + 3.
(3) 2x2 − 5x +1 = 0；
解：a = 2，b = −5，c = 1.
∴ Δ = (−5)2−4×2×1=17.
解：整理，得 x2 + 2x = 5，
∴ x2 + 2x + 1 = 5 + 1，即 (x + 1)2 = 6.
一元二次方程的解法选择基本思路：
化成一般形式ax2 + bx + c = 0
b＝0，ax2 + c = 0
c＝0，ax2 + bx = 0
填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型.
x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0)
(ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0)
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0)
(ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0)
知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据
1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( )
知识点2 用因式分解法解一元二次方程
A. 23B. 23或33C. 24D. 24或30