初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系评优课课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系评优课课件ppt，共21页。PPT课件主要包含了x1+x2，x1·x2，思考1，所以x1＋x2＝，x1·x2＝，思考2，由此可得，归纳总结，练一练，x12+x22等内容，欢迎下载使用。
3. 学会在合作交流中归纳总结出二次方程的根与系数的关系特点，提高了学生解决问题的能力.
填一填，然后想一想如何验证你发现的规律.
分析：整体上看，两个根分别是 “m＋n” 和 “m－n” 的形式，而且式子 “n” 中含有根号，这种形式的式子相加可以消去“ n ”，相乘可以去掉 “n”中的根号，从而使形式简洁.
探究点：一元二次方程的根与系数的关系
我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？
ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)，
ax2 + bx + c = ax2 - a(x1 + x2) x + ax1·x2 ，
- a(x1 + x2) = b，ax1·x2 = c
由此得出，一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根 x1，x2 与其系数 a，b，c 有如下关系:
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根 x1，x2 的和与积.(1) x2 – 6x – 15 = 0；
解：(1) x1 + x2 = – (–6) = 6，x1 x2 = -15.
(2) 3x2 + 7x - 9 = 0；
(3) 5x – 1 = 4x2.
(3) 方程化为 4x2 - 5x + 1 = 0，
例2 已知关于 x 的方程 5x2 + kx - 6 = 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1 = 2. 所以 x1 · x2 = 2x2 = ， 即 x2 = 由于 x1 + x2 = 2 + = ， 解得 k = -7.答：方程的另一个根是 ，k 的值为 -7.
变式：已知关于 x 的方程 3x2 - 18x + m = 0 的一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
解：设方程的两根分别是 x1，x2，其中 x1= 1. 所以 x1 + x2 = 1 + x2 = 6， 即 x2 = 5 . 由于 x1·x2 = 1×5 = ， 解得 m = 15.答：方程的另一个根是 5，m 的值为 15.
例3 不解方程，求方程 2x2 + 3x - 1 = 0 的两根的平方和、倒数和.
解：根据根与系数的关系可知
【知识拓展】常见的求值式子如下：
1.设 x1，x2 为方程 x2 - 4x + 1 = 0 的两个根，则(1) x1 + x2 = ； (2) x1·x2 = ；(3) ； (4) (x1 - x2)2 = .
归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.
【练一练】2. 已知 x1，x2 是方程 x2 - x - 2026 = 0 的两个实数根，则代数式 x13 - 2026x1 + x22 的值是 ( ) A. 4053B. 4052C. 2026D. 1
x12-x1-2026=0
x12 -2026= x1
x13-2026x1+x22
x1(x12-2026)+x22
(x1+x2)2-2x1x2
x2-x-2026=0
x1+x2=1，x1x2 =-2026
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
3. 请写出一个满足下列条件的一元二次方程：二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写的一元二次方程是_______________________________.
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限