人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.3 实际问题与一元二次方程第1课时教案

这是一份人教版（2024）九年级上册（2024）第二十五章 一元二次方程25.3 实际问题与一元二次方程第1课时教案，共10页。教案主要包含了核心素养目标，教学重点与难点，教学过程，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。
一、核心素养目标
1. 数学抽象
从矩形面积、围栏问题等实际情境中抽象出一元二次方程模型
理解几何问题中边长、周长、面积的代数关系
2. 逻辑推理
通过审题画图→设元→列方程→解方程→检验作答的完整推理链解决问题
能辨析方程两根的几何实际意义，正确处理舍根问题
3. 数学建模
掌握一元二次方程解几何问题的五步法
能针对同一问题探索多种设元方法，体会不同建模路径的优劣
4. 数学运算
熟练运用因式分解法或公式法解一元二次方程
准确进行几何量的代入检验，合理取舍
二、教学重点与难点
教学重点：
1. 掌握列一元二次方程解几何问题的基本步骤（审→设→列→解→验）
2. 能根据矩形周长、面积关系建立一元二次方程
3. 合理检验并舍去不符合实际意义的根
教学难点：
1. 从几何图形中准确找出等量关系列方程
2. 靠墙围栏问题中边长约束条件的处理
3. 理解两根的几何意义——两根可能对应同一图形（长宽互换）
三、教学过程
环节一：情境导入（3-5分钟）
【教师活动】前面我们已经熟练掌握一元二次方程的解法，今天开始学习一元二次方程在生活中的实际应用。生活中围菜园、修小路等都可以用一元二次方程解决，本节课我们系统梳理几何类实际问题的解题思路。
【互动提问】同学们回忆一下，列方程解应用题的步骤是什么？一元二次方程有哪些解法？
【学生活动】回顾旧知：(1)审→设→列→解→验→答；(2)因式分解法、公式法、配方法。
【过渡语】今天我们把一元二次方程和几何图形结合起来，解决生活中的实际问题。先看例1。
环节二：新知探究——列一元二次方程解几何问题（20-25分钟）
知识点一：列一元二次方程解几何问题的基本步骤
【例1】是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
【思路分析】设三边长分别为 n, n+1, n+2（n为正整数），则最长边为斜边 n+2。
【列方程】由勾股定理：n² + (n+1)² = (n+2)²
n² + (n+1)² = (n+2)²
【解方程】展开得 n² + n² + 2n + 1 = n² + 4n + 4，整理得 n² - 2n - 3 = 0。
n² - 2n - 3 = 0
【因式分解】因式分解：(n-3)(n+1) = 0，解得 n₁=3，n₂=-1（舍去）。
(n-3)(n+1) = 0
【答案】当 n=3 时，三边长为 3, 4, 5。只有一个这样的三角形。
【例2】用一根长为40m的细绳，能否围成一个面积为96m²的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
【思路分析】设矩形的一边长为 x m，则另一边长为 (20-x) m（周长为40m，半周长为20m）。
【列方程】由面积关系：x(20-x) = 96
x(20-x) = 96
【解方程】整理得 20x - x² = 96，即 x² - 20x + 96 = 0。
x² - 20x + 96 = 0
【因式分解】因式分解：(x-8)(x-12) = 0，解得 x₁=8，x₂=12。
(x-8)(x-12) = 0
【答案】能围成。当 x=8 时，矩形为 8m×12m；当 x=12 时，矩形为 12m×8m。这两个矩形只是长和宽互换位置，形状大小完全相同，只能围成一种符合条件的矩形。
【思考辨析】两根的几何意义
【互动提问】方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
【学生活动】讨论后回答：不能，二者只是长和宽互换位置，形状大小完全相同，只能围成一种符合条件的矩形。
【归纳总结】基本步骤（五步法）
① 审题画图：标出图形边长、已知长度、面积
② 合理设元：优先设较短边、统一单位
③ 找准等量：利用周长、边长、面积关系列一元二次方程
④ 正确解方程：优先因式分解法，其次公式法
⑤ 检验作答：舍去负根、不符合实际长度的根，辨析两根实际意义，规范写答案
知识点二：同一问题的多种设元方法
对于例2，设矩形两邻边长的方法有多种，下面比较三种方法的各自特点：
环节三：巩固练习（10-15分钟）
【练习1】靠墙围栏问题
【题目】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？
【学生活动】在练习本上独立完成，同桌互查。
【教师巡堂指导】关注学生设元是否正确，检验环节是否到位。
【板书讲解】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为 x m，则平行于住房墙的一边长为 (25-2x+1) m。
由题意得：x(25-2x+1) = 80
整理得 x(26-2x) = 80，即 2x² - 26x + 80 = 0，x² - 13x + 40 = 0
因式分解：(x-5)(x-8) = 0，解得 x₁=5，x₂=8
当 x=5 时，平行墙边长 = 26-2×5 = 16 > 12（舍去）
当 x=8 时，平行墙边长 = 26-2×8 = 10 < 12
答：所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m。
解题关键：靠墙问题必须检验平行于墙的边长是否超过墙的最大长度。
【练习2】水渠宽度问题
【题目】如图，在一块长为92m，宽为60m的矩形耕地上挖三条水渠，水渠的宽都相等，水渠把耕地分成面积均为885m²的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
【学生活动】在练习本上独立完成，同桌互查。
【教师巡堂指导】关注学生设元是否正确，检验环节是否到位。
【板书讲解】设水渠宽为 x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为 (92-2x) m，宽为 (60-x) m。
由题意得：(92-2x)(60-x) = 6×885
整理得 (92-2x)(60-x) = 5310
展开：5520 - 92x - 120x + 2x² = 5310
2x² - 212x + 210 = 0，即 x² - 106x + 105 = 0
因式分解：(x-105)(x-1) = 0，解得 x₁=105，x₂=1
x₁=105 明显不符合实际情况（远大于耕地宽度60m），应舍去。
答：水渠应挖1m宽。
解题技巧：利用「图形经过移动，它的面积大小不会改变」的性质，把纵、横水渠移动到边上，使列方程更容易。
环节四：课堂练习（8-10分钟）
A组·基础巩固
如图，某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形。为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意可列方程为（ C ）。
A. 35×20-35x-20x+2x² = 600
B. 35×20-35x-2×20x = 600
C. (35-2x)(20-x) = 600
D. (35-x)(20-2x) = 600
【答案】C
【解析】将小道平移到边上，剩余种植区域为长方形，长为 (35-2x)，宽为 (20-x)。
2. 客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮，两船若同时起航，并同时到达折线A-B-C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍。两船相遇之处E点（ D ）。
A. 在线段AB上
B. 在线段BC上
C. 在线段AC上
D. 可在线段AB上，也可以在线段BC上
【答案】D
【解析】建立坐标系，设货轮速度为v，客轮速度为2v，通过距离关系列方程可得E点有两个可能位置。
客轮货轮航行路线图
3. 一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000 cm³，求铁板的长和宽。
【答案】铁板的长50cm，宽25cm。
【解析】设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm。截去四角后，盒子的底面长为 (2x-10) cm，宽为 (x-10) cm，高为5cm。由容积公式：5(2x-10)(x-10)=3000，整理得 2x²-30x-500=0，(x-25)(x+10)=0，解得 x=25（x=-10舍去）。∴ 宽25cm，长50cm。
环节五：课堂小结（2-3分钟）
【教师引导】今天我们学习了一元二次方程在几何问题中的应用，请同学们回顾：基本步骤是什么？有哪些典型题型？需要注意哪些检验要点？
【课堂互动】学生回答，教师补充完善板书。
【教师总结】一元二次方程解几何问题的核心在于：从图形中准确提取等量关系，用代数语言转化为方程，再通过解方程和合理检验得到符合实际的几何答案。
◆ 典型类型：
矩形面积问题
围栏边框问题
小路宽度问题
◆ 基本步骤（五步法）：
①审题画图：标出图形边长、已知长度、面积
②合理设元：优先设较短边、统一单位
③找准等量：利用周长、边长、面积关系列一元二次方程
④正确解方程：优先因式分解法，其次公式法
⑤检验作答：舍去负根、不符合实际长度的根，辨析两根实际意义，规范写答案
四、板书设计
25.3 实际问题与一元二次方程
课时1 几何问题
一、基本步骤（五步法）
① 审题画图 ② 合理设元 ③ 找准等量
④ 正确解方程（因式分解法优先）
⑤ 检验作答（舍去负根/不合实际根）
二、典型问题
1. 直角三角形三边问题（勾股定理）
2. 矩形围栏问题（周长+面积→一元二次方程）
3. 靠墙围栏问题（检验边长≤墙长）
4. 小路/水渠问题（平移法简化列方程）
三、关键技巧
★ 多种设元方法：半周长法、方程组法、平均数法
★ 图形平移法：面积不变，简化等量关系
★ 两根辨析：几何意义相同的根对应同一图形
五、教学反思
1. 例1（勾股定理+连续整数）作为导入例题，学生是否能顺利建立方程？对审题设元环节的理解是否到位？
2. 例2（矩形围栏）的五步法讲解是否清晰？学生能否独立完成从审题到检验的全过程？
3. 三种设元方法的比较，学生是否理解了各自的特点和适用场景？是否有学生在方法三的理解上存在困难？
4. 练习1（靠墙围栏）中检验环节——平行墙边长超限的舍根，学生是否真正理解其必要性？
5. 练习2（水渠问题）的平移法，学生是否能理解'面积不变'这一核心思想？迁移到其他小路问题是否顺畅？
6. 课堂练习的分层设计（选择+解答）是否有效检测了不同层次学生的掌握情况？
课题
25.3 实际问题与一元二次方程（课时1 几何问题）
课型
新授课
课时
1课时（45分钟）
教材版本
人教版
授课对象
九年级学生
授课时间
年 月 日
教学方法
情境教学法、探究法、讲练结合法
教学用具
多媒体课件
? ? 理解要点：在一元二次方程解几何问题中，两个正根可能对应同一个图形的不同方向摆放（长宽互换），实际意义是同一个几何图形，不是两个不同的图形。
⭐ ⭐ 重点强调：检验环节不可省略！必须检验：(1)根是否为负数→舍去；(2)结果是否超出几何边界（如墙长）→舍去；(3)两根是否代表同一图形→辨析说明。
方法
设元方式
方程
特点
方法一
设一边长为 x，另一边为 20-x（利用半周长关系）
x(20-x) = 96 → x² - 20x + 96 = 0
最贴合周长的已知条件，思路最直接，整式方程计算门槛低，是最通用的基础方法。
方法二
设两边长分别为 x 和 y，由周长和面积建立方程组
x+y=20, xy=96 → 化为 x² - 20x + 96 = 0
逻辑上双向利用了周长、面积两个条件，列方程的路径灵活。
方法三
设两边长分别为 (10+d) 和 (10-d)（利用平均数设元）
(10+d)(10-d) = 96 → 100 - d² = 96 → d² = 4
方程可直接用平方差公式展开，消去一次项，计算量最小，求解最快，技巧性强。
? ? 判断技巧：三种方法各有适用场景：方法一最基础通用，适合所有矩形问题；方法二适合条件分散时有方程组思想；方法三适合周长已知且为偶数时，计算最快但技巧性强。建议优先掌握方法一。
⚠️ ⚠️ 易错提示：解题关键：靠墙问题必须检验平行于墙的边长是否超过墙的最大长度。
⚠️ ⚠️ 易错提示：解题技巧：利用「图形经过移动，它的面积大小不会改变」的性质，把纵、横水渠移动到边上，使列方程更容易。