数学九年级上册（2024）26.2.1 二次函数y=ax²的图象和性质优秀随堂练习题

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知识点01
二次函数y=ax2的图象
1.绘制二次函数y=ax2图象的步骤
画函数图象时，常用的方法是描点法。画二次函数图象也可以用描点法，一般按照以下步骤进行：
第一步：列表。在自变量允许的范围内，让x取一此代表性的值(正数、负数或0)，代入函数解析式，求出对应的y值,列出表格。
第二步：描点。把表中每一组对应值(x,y)看作平面直角坐标系中的一个点，并在坐标系中描出这些点。
第三步：连线。用平滑的曲线顺次连接所描出的点，得到函数图象。
2.二次函数y=ax2的图象特征
①二次函数y=ax2(a≠0)的图象是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点是坐标原点。
②当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a0，
∴图像开口向上，且顶点为坐标原点，
故选：A．
2．二次函数y=x2的图象经过下列点中的（ ）
A．0,1B．(2,4)C．(−1,−1)D．(4,2)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过．
【详解】A．0,1，x=0时，y=02=0≠1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
B．(2,4)，x=2时，y=22=4，与点的纵坐标相等，在函数图象上；
C．(−1,−1)，x=−1时，y=−12=1≠−1，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
D．(4,2)，x=4时，y=42=16≠2，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上；
故选：B．
3．已知三个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3的大小关系是______ ．（请用“>”连接）
【答案】a2>a3>a1
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次项系数与图象的关系是解题的关键．直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系即可得出答案．
【详解】解：观察图象可知，y=a2x2开口向上，故a2>0，
y=a1x2和y=a3x2开口向下，且y=a1x2的开口大小小于y=a2x2，故a1a1．
故答案为：a2>a3>a1．
4．关于函数y=−3x2与y=12x2的图象的共同点，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．都有最低点C．y随x增大而增大D．对称轴是y轴
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数y=ax2的图象与性质，熟练掌握二次函数的开口方向、最值、增减性与系数a的关系，以及对称轴的判定方法是解题的关键．先分别分析两个二次函数的开口方向、最值点、增减性和对称轴，再对比各选项找出它们的共同点．
【详解】∵函数y=−3x2的a=−30，开口向上，有最低点，当x0时y随x增大而增大；
∴A、B、C均不是共同点；
∵两个函数均为y=ax2形式，
∴对称轴都是y轴，故D正确.
故选：D．
5．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y=2x2和y=−12x2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线y=2x2，当x______时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数y=−12x2，对于一切x的值，总有函数y______0；当x______时，y有最______值是______．
【答案】(1)图见解析；二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数y=−12x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)．
(2)≠，低．
(3)≤，=，大，0．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．
（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数y=2x2的图象解答即可；
（3）根据函数y=−12x2的图象解答即可．
【详解】（1）解：图象如图：
由图可得：二次函数y=2x2的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)；二次函数y=−12x2的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为(0,0)．
（2）解：抛物线y=2x2，当x≠0时，抛物线上的点都在x轴的上方，它的顶点是图象的最低点(0,0)．
故答案为：≠，低．
（3）解：函数y=−12x2，对于一切x的值，总有函数y≤0；当x=0时，y有最大值是0．
故答案为：≤，=，大，0．
知识点02
二次函数y=ax2的性质
由函数y=ax2的图象总结性质如下：
【即学即练】
6．关于函数y=12x2，y=x2，y=2x2的图象，下列说法中不正确的是（ ）
A．顶点坐标相同B．对称轴相同
C．图象形状相同D．最低点相同
【答案】C
【分析】本题考查了y=ax²的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据y=ax²的性质求解即可．
【详解】解：函数y=12x2，y=x2，y=2x2都是y=ax²形式，
二次函数y=ax²，
顶点坐标均为0,0，对称轴均为y轴，最低点均为0,0，
但a值分别为12，1，2，不相等，
∴图象开口大小不同，形状不同，
故选：C．
7．若抛物线y=1−mx2有最低点，则m的取值范围是_________．
【答案】m＜1
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数图象开口的方向与二次项系数的关系是解题的关键．
根据题意，函数有最低点可知二次函数图象开口向上，由此解出答案．
【详解】解：∵抛物线y=1−mx2有最低点，
∴二次函数图象开口向上，即1−m＞0，解得m＜1．
故答案为：m＜1．
8．当x为何值时，二次函数y=−x2中y随x的增大而减小（ ）
A．x=0 B．x0 D．x≤0
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
根据二次函数y=−x2开口向下，对称轴为x=0，进行判断即可．
【详解】∵二次函数y=−x2的二次项系数为−10时，y随x的增大而减小，
故选：C．
9．已知点A−2,y1，B−1,y2在二次函数y=13x2的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）
A．y1>y2>0B．y2>y1>0C．0>y1>y2D．0>y2>y1
【答案】A
【分析】此题考查了比较二次函数值的大小，通过直接计算点A和点B在二次函数上的函数值，比较y1和y2的大小关系．
【详解】解：∵点A−2,y1，B−1,y2在二次函数y=13x2的图象上，
∴y1=13×−22=43，y2=13×−12=13
∵43>13>0
∴y1>y2>0．
故选：A．
题型01 y=ax2的图象
【典例1】二次函数y=−4x2的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键．根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可．
【详解】解：∵y=−4x2，
∴a=−40开口向上，a0和a0时，函数y=ax2的图象开口向上，函数y=ax+a的图象经过第一、第二、第三象限，所以A、D错误，B正确；
当a0，由一次函数的图象，知a>0，故B符合题意；
C项，由二次函数的图象，知a0，故C不符合题意；
D项，由二次函数的图象，知a>0，由一次函数的图象，知a0时，二次函数开口向上，当ac>d
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当a>0时，开口向上，当ab>0>c>d；故答案为a>b>c>d．
题型02 y=ax2的性质
【典例1】抛物线y=2x2，y=−2x2−1，y=−x2+3共有的性质是( )
A．开口向上
B．顶点坐标都是0,0
C．对称轴是y轴
D．在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；分别分析每个二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及增减性，找出共同点即可．
【详解】解：对于y=2x2：
∵a=2>0，
∴开口向上，顶点0,0，对称轴为y轴，在x>0时y随x增大而增大；
对于y=−2x2−1：
∵a=−20时y随x增大而减小；
对于y=−x2+3：
∵a=−10时y随x增大而减小；
综上，三条抛物线对称轴均为y轴；
故选C．
（1）考查方向：y=ax2的增减性、最值、函数值大小比较、参数取值以及图象上点的坐标关系。
（2）核心方法：利用对称轴 y 轴和开口方向判断性质：a>0时离对称轴越远函数值越大，有最小值0；a0，则y10，则0y3>y1D．y3>y2>y1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数增减性是关键．
根据二次函数的增减性即可解答．
【详解】解：∵y=−x2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=0，
∵点A−2,y1距离对称轴有2个单位长度，
点B0,y2距离对称轴有0个单位长度，
点C1,y3距离对称轴有1个单位长度，
∴根据抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小可知：y2>y3>y1，
故选：C．
A组·基础过关
1．抛物线y=x2的顶点坐标是（ ）
A．（1，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（1，1）
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键；
利用二次函数y=ax2的顶点坐标特征即可求解．
【详解】解：∵二次函数的形式为y=ax2时，其顶点坐标为0,0，
又∵抛物线y=x2符合y=ax2（a=1）的形式，
∴抛物线y=x2的顶点坐标是0,0，
故选：C．
2．已知二次函数y=ax2的图像经过点P(2,3)，则a的值为（ ）
A．34B．43C．29D．92
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质．
将P(2,3)代入解析式即可求出a的值．
【详解】解：∵二次函数y=ax2的图像经过点P2,3，
∴3=a×22，
即3=4a，
∴a=34．
故选：A．
3．已知点−1,y1，0,y2，3,y3都在二次函数y=x2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1c
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数y=ax2的性质：①抛物线y=ax2的开口大小由a决定，a越大，抛物线的开口越窄，a越小，抛物线的开口越宽；②抛物线y=ax2的开口方向由a决定，当a>0时，抛物线开口向上，当ab>0，
∵抛物线y=cx2、y=dx2开口向下，
且抛物线y=cx2的开口更窄，
∴cd>c．
故选C．
B组·能力提升
6．抛物线 y=13x2，y=−2x2，y=32x2的图象开口最大的是（ ）
A．y=13x2B．y=−2x2C．y=32x2D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线y=ax2的开口大小由二次项系数a的绝对值决定，a的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果
【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为13，−2，32，分别计算它们的绝对值得：
|13|=13，|−2|=2，|32|=32
∵ 13